Дано: вектор a{3;4}, вектор b{0;5} Найти: вектор a+вектор b; вектор a-векторb; |вектор a|×|вектор b|; векторa a× вектор b

Давай решим задачу с векторами шаг за шагом, чтобы ты хорошо понял, как это делается.

Дано:

• Вектор \( \mathbf{a} = \begin{pmatrix} 3 \\ 4 \end{pmatrix} \)
• Вектор \( \mathbf{b} = \begin{pmatrix} 0 \\ 5 \end{pmatrix} \)

Найти:

1. Сумма векторов (\( \mathbf{a} + \mathbf{b} \))
2. Разность векторов (\( \mathbf{a} - \mathbf{b} \))
3. Произведение длин векторов (\( |\mathbf{a}| \times |\mathbf{b}| \))
4. Векторное произведение (\( \mathbf{a} \times \mathbf{b} \))

1. Сумма векторов (\( \mathbf{a} + \mathbf{b} \))

Чтобы сложить два вектора, складываем их соответствующие координаты:

\[ \mathbf{a} + \mathbf{b} = \begin{pmatrix} 3 \\ 4 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 0 \\ 5 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 + 0 \\ 4 + 5 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 \\ 9 \end{pmatrix} \]

Таким образом, \( \mathbf{a} + \mathbf{b} = \begin{pmatrix} 3 \\ 9 \end{pmatrix} \).

2. Разность векторов (\( \mathbf{a} - \mathbf{b} \))

Чтобы вычесть один вектор из другого, вычитаем соответствующие координаты:

\[ \mathbf{a} - \mathbf{b} = \begin{pmatrix} 3 \\ 4 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 0 \\ 5 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 - 0 \\ 4 - 5 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 \\ -1 \end{pmatrix} \]

Таким образом, \( \mathbf{a} - \mathbf{b} = \begin{pmatrix} 3 \\ -1 \end{pmatrix} \).

3. Произведение длин векторов (\( |\mathbf{a}| \times |\mathbf{b}| \))

Сначала найдем длины (модуль) векторов.

Длина вектора \( \mathbf{a} \) вычисляется по формуле: \[ |\mathbf{a}| = \sqrt{x^2 + y^2} = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5 \]

Длина вектора \( \mathbf{b} \): \[ |\mathbf{b}| = \sqrt{x^2 + y^2} = \sqrt{0^2 + 5^2} = \sqrt{0 + 25} = \sqrt{25} = 5 \]

Теперь перемножим длины: \[ |\mathbf{a}| \times |\mathbf{b}| = 5 \times 5 = 25 \]

4. Векторное произведение (\( \mathbf{a} \times \mathbf{b} \))

Для векторов в двумерном пространстве векторное произведение не определено так, как в трехмерном. Однако, можно выразить векторное произведение как скалярное произведение с добавлением третьей координаты, равной нулю.

Для векторов в формате \( \mathbf{a} = \begin{pmatrix} a_1 \\ a_2 \\ 0 \end{pmatrix} \) и \( \mathbf{b} = \begin{pmatrix} b_1 \\ b_2 \\ 0 \end{pmatrix} \) векторов это будет выглядеть следующим образом: \[ \mathbf{a} \times \mathbf{b} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ a_1b_2 - a_2b_1 \end{pmatrix} \] Подставим значения: \[ = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 3 \times 5 - 4 \times 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 15 \end{pmatrix} \]

Ответы:

1. \( \mathbf{a} + \mathbf{b} = \begin{pmatrix} 3 \\ 9 \end{pmatrix} \)
2. \( \mathbf{a} - \mathbf{b} = \begin{pmatrix} 3 \\ -1 \end{pmatrix} \)
3. \( |\mathbf{a}| \times |\mathbf{b}| = 25 \)
4. \( \mathbf{a} \times \mathbf{b} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 15 \end{pmatrix} \)

Теперь ты знаешь, как выполнять операции с векторами! Если у тебя есть еще вопросы, не стесняйся задавать!