Найдите наибольшее значение функции y=х⅔-3х+1 на отрезке 1;9]
Для нахождения наибольшего значения функции \( y = x^{\frac{2}{3}} - 3x + 1 \) на отрезке \( [1; 9] \), необходимо выполнить несколько шагов.
Шаг 1: Найдем производную функции
Для поиска экстремумов функции (максимумов и минимумов) найдем её производную \( y' \): \[ y' = \frac{d}{dx}(x^{\frac{2}{3}} - 3x + 1) \]
Используя правила дифференцирования, получаем: \[ y' = \frac{2}{3}x^{-\frac{1}{3}} - 3 \]
Шаг 2: Найдем критические точки
Для нахождения критических точек приравняем производную к нулю: \[ \frac{2}{3}x^{-\frac{1}{3}} - 3 = 0 \]
Преобразуем уравнение: \[ \frac{2}{3}x^{-\frac{1}{3}} = 3 \] \[ x^{-\frac{1}{3}} = \frac{9}{2} \] \[ x^{\frac{1}{3}} = \frac{2}{9} \] Теперь возведем обе стороны в куб: \[ x = \left(\frac{2}{9}\right)^3 = \frac{8}{729} \]
Эта точка не входит в наш отрезок \( [1; 9] \).
Шаг 3: Исследование краевых значений
Теперь будем проверять значения функции на границах отрезка и в критических точках:
Подстановка границ отрезка:
\( x = 1 \): \[ y(1) = 1^{\frac{2}{3}} - 3 \cdot 1 + 1 = 1 - 3 + 1 = -1 \]
\( x = 9 \): \[ y(9) = 9^{\frac{2}{3}} - 3 \cdot 9 + 1 \] Сначала находим \( 9^{\frac{2}{3}} \): \[ 9^{\frac{2}{3}} = (3^2)^{\frac{2}{3}} = 3^{\frac{4}{3}} = 3 \cdot 3^{\frac{1}{3}} = 3 \cdot \sqrt[3]{3^2} = 3 \cdot \sqrt[3]{9} \] Теперь подставим это значение: \[ y(9) = 9 - 27 + 1 = -17 \]
Шаг 4: Сравнение значений функции
Теперь сравним значения функции в границах отрезка:
- \( y(1) = -1 \)
- \( y(9) = -17 \)
Результат
Наибольшее значение функции \( y = x^{\frac{2}{3}} - 3x + 1 \) на отрезке \( [1; 9] \) равно \(-1\) и достигается при \( x = 1 \).
