Найдите наибольшее значение функции y=х⅔-3х+1 на отрезке 1;9]

Для нахождения наибольшего значения функции \( y = x^{\frac{2}{3}} - 3x + 1 \) на отрезке \( [1; 9] \), необходимо выполнить несколько шагов. ### Шаг 1: Найдем производную функции Для поиска экстремумов функции (максимумов и минимумов) найдем её производную \( y' \): \[ y' = \frac{d}{dx}(x^{\frac{2}{3}} - 3x + 1) \] Используя правила дифференцирования, получаем: \[ y' = \frac{2}{3}x^{-\frac{1}{3}} - 3 \] ### Шаг 2: Найдем критические точки Для нахождения критических точек приравняем производную к нулю: \[ \frac{2}{3}x^{-\frac{1}{3}} - 3 = 0 \] Преобразуем уравнение: \[ \frac{2}{3}x^{-\frac{1}{3}} = 3 \] \[ x^{-\frac{1}{3}} = \frac{9}{2} \] \[ x^{\frac{1}{3}} = \frac{2}{9} \] Теперь возведем обе стороны в куб: \[ x = \left(\frac{2}{9}\right)^3 = \frac{8}{729} \] Эта точка не входит в наш отрезок \( [1; 9] \). ### Шаг 3: Исследование краевых значений Теперь будем проверять значения функции на границах отрезка и в критических точках: #### Подстановка границ отрезка: 1. \( x = 1 \): \[ y(1) = 1^{\frac{2}{3}} - 3 \cdot 1 + 1 = 1 - 3 + 1 = -1 \] 2. \( x = 9 \): \[ y(9) = 9^{\frac{2}{3}} - 3 \cdot 9 + 1 \] Сначала находим \( 9^{\frac{2}{3}} \): \[ 9^{\frac{2}{3}} = (3^2)^{\frac{2}{3}} = 3^{\frac{4}{3}} = 3 \cdot 3^{\frac{1}{3}} = 3 \cdot \sqrt[3]{3^2} = 3 \cdot \sqrt[3]{9} \] Теперь подставим это значение: \[ y(9) = 9 - 27 + 1 = -17 \] ### Шаг 4: Сравнение значений функции Теперь сравним значения функции в границах отрезка: - \( y(1) = -1 \) - \( y(9) = -17 \) ### Результат Наибольшее значение функции \( y = x^{\frac{2}{3}} - 3x + 1 \) на отрезке \( [1; 9] \) равно \(-1\) и достигается при \( x = 1 \).