Боковая сторона равнобедренного треугольника равна 10 см а угол при основании 75 найдите площадь треугольника

Для нахождения площади равнобедренного треугольника с известной боковой стороной (10 см) и углом при основании (75°) воспользуемся формулой для площади: \[ S = \frac{1}{2} \times a \times h \] где: - \( S \) — площадь треугольника, - \( a \) — основание треугольника, - \( h \) — высота треугольника. В данном случае нам нужно сначала найти основание треугольника и его высоту. ### Шаг 1: Определение оснований и высоты В нашем равнобедренном треугольнике у нас есть: - боковая сторона \( b = 10 \) см, - угол при основании \( \alpha = 75° \). Для начала разделим наш треугольник на два равных прямоугольных треугольника, проведя высоту \( h \) из вершины, где находится угол \( \alpha \). Это высота будет перпендикулярна основанию \( a \) и делит его на два равных отрезка по \( \frac{a}{2} \). ### Шаг 2: Используем тригонометрию В каждом из образовавшихся прямоугольных треугольников мы можем использовать следующие тригонометрические функции: 1. **Синус**: \[ \sin\left(\frac{\alpha}{2}\right) = \frac{h}{b} \] где \( \frac{\alpha}{2} = \frac{75°}{2} = 37.5° \). Подставляем наши значения: \[ \sin(37.5°) = \frac{h}{10} \quad \Rightarrow \quad h = 10 \cdot \sin(37.5°) \] 2. **Косинус**: \[ \cos\left(\frac{\alpha}{2}\right) = \frac{\frac{a}{2}}{b} \] \[ \cos(37.5°) = \frac{\frac{a}{2}}{10} \quad \Rightarrow \quad a = 20 \cdot \cos(37.5°) \] ### Шаг 3: Находим высоту и основание: Используя значения для синуса и косинуса: - \( \sin(37.5°) \approx 0.609 \) - \( \cos(37.5°) \approx 0.798 \) Теперь подставляем и находим: \[ h \approx 10 \cdot 0.609 = 6.09 \text{ см} \] \[ a \approx 20 \cdot 0.798 = 15.96 \text{ см} \] ### Шаг 4: Находим площадь Теперь мы можем рассчитать площадь треугольника: \[ S = \frac{1}{2} \times a \times h = \frac{1}{2} \times 15.96 \times 6.09 \] \[ S \approx \frac{1}{2} \times 97.1744 \approx 48.5872 \text{ см}^2 \] ### Ответ: Площадь равнобедренного треугольника составляет примерно \( 48.59 \text{ см}^2 \).