Реши контрольную

Давайте разберем задачи из вашей контрольной работы. ### 1. Даны координаты точек A (1; 2; 3), B (3; 2; -1), C (5; -5; 1). Найти: #### а) координаты вектора AB, BC Координаты вектора \( \overrightarrow{AB} \) находятся по формуле: \[ \overrightarrow{AB} = (x_B - x_A, y_B - y_A, z_B - z_A) \] Подставляем значения точек A и B: \[ \overrightarrow{AB} = (3 - 1, 2 - 2, -1 - 3) = (2, 0, -4) \] Координаты вектора \( \overrightarrow{BC} \) аналогично: \[ \overrightarrow{BC} = (x_C - x_B, y_C - y_B, z_C - z_B) \] Подставляем значения точек B и C: \[ \overrightarrow{BC} = (5 - 3, -5 - 2, 1 + 1) = (2, -7, 2) \] ### 2. Даны координаты векторов a(5; -3), b(-2; -7). Найти: #### а) длину вектора a Длина вектора \( \overrightarrow{a} = (x, y) \) находится по формуле: \[ ||\overrightarrow{a}|| = \sqrt{x^2 + y^2} \] Для вектора \(\overrightarrow{a}(5, -3)\): \[ ||\overrightarrow{a}|| = \sqrt{5^2 + (-3)^2} = \sqrt{25 + 9} = \sqrt{34} \] ### 3. При каком значении n данные векторы перпендикулярны? #### a(7; -3; n) и b(-6; 9; 2) Векторы перпендикулярны, если их скалярное произведение равно нулю. Скалярное произведение \(\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b} = x_1x_2 + y_1y_2 + z_1z_2 \). Подставляем: \[ 7 \cdot (-6) + (-3) \cdot 9 + n \cdot 2 = 0 \] \[ -42 - 27 + 2n = 0 \] \[ 2n = 69 \] \[ n = \frac{69}{2} = 34.5 \] ### 4. Найти радиус окружности, вписанной в прямоугольный треугольник ABC. Если: #### катеты: |AC| = 5, |BC| = 12. Радиус окружности, вписанной в прямоугольный треугольник, равен: \[ r = \frac{a + b - c}{2} \] Где \( a \) и \( b \) — катеты, \( c \) — гипотенуза. Сначала найдем гипотенузу, используя теорему Пифагора: \[ c = \sqrt{5^2 + 12^2} = \sqrt{25 + 144} = \sqrt{169} = 13 \] Теперь находим радиус: \[ r = \frac{5 + 12 - 13}{2} = \frac{4}{2} = 2 \] ### 5. Точка G — середина отрезка MN. Прямые a и b параллельны (параллелограмм) ABCD. Найти координаты точки G. Для нахождения координат точки G, воспользуемся формулой средней точки: Если M(x₁, y₁, z₁) и N(x₂, y₂, z₂), то координаты точки G: \[ G = \left(\frac{x_1 + x_2}{2}, \frac{y_1 + y_2}{2}, \frac{z_1 + z_2}{2}\right) \] ### 6. Найти синус и тангенс угла MNT, если MN = 6, NT = 8. Синус угла в прямоугольном треугольнике определяется как отношение противолежащего катета к гипотенузе. Тангенс угла определяется как отношение противолежащего катета к прилежащему: Гипотенуза MT будет: \[ MT = \sqrt{6^2 + 8^2} = \sqrt{36 + 64} = \sqrt{100} = 10 \] Синус угла: \[ \sin = \frac{6}{10} = 0.6 \] Тангенс угла: \[ \tan = \frac{6}{8} = 0.75 \] Это подробное решение заданий. Если есть еще вопросы или нужна дополнительная информация, пожалуйста, дайте знать!