реши контрольную

Давайте разберем задачи из вашей контрольной работы.

1. Даны координаты точек A (1; 2; 3), B (3; 2; -1), C (5; -5; 1). Найти:

а) координаты вектора AB, BC

Координаты вектора \( \overrightarrow{AB} \) находятся по формуле:
\[ \overrightarrow{AB} = (x_B - x_A, y_B - y_A, z_B - z_A) \]

Подставляем значения точек A и B:
\[ \overrightarrow{AB} = (3 - 1, 2 - 2, -1 - 3) = (2, 0, -4) \]

Координаты вектора \( \overrightarrow{BC} \) аналогично:
\[ \overrightarrow{BC} = (x_C - x_B, y_C - y_B, z_C - z_B) \]

Подставляем значения точек B и C:
\[ \overrightarrow{BC} = (5 - 3, -5 - 2, 1 + 1) = (2, -7, 2) \]

2. Даны координаты векторов a(5; -3), b(-2; -7). Найти:

а) длину вектора a

Длина вектора \( \overrightarrow{a} = (x, y) \) находится по формуле:
\[ ||\overrightarrow{a}|| = \sqrt{x^2 + y^2} \]

Для вектора \(\overrightarrow{a}(5, -3)\):
\[ ||\overrightarrow{a}|| = \sqrt{5^2 + (-3)^2} = \sqrt{25 + 9} = \sqrt{34} \]

3. При каком значении n данные векторы перпендикулярны?

a(7; -3; n) и b(-6; 9; 2)

Векторы перпендикулярны, если их скалярное произведение равно нулю.
Скалярное произведение \(\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b} = x_1x_2 + y_1y_2 + z_1z_2 \).

Подставляем:
\[ 7 \cdot (-6) + (-3) \cdot 9 + n \cdot 2 = 0 \]
\[ -42 - 27 + 2n = 0 \]
\[ 2n = 69 \]
\[ n = \frac{69}{2} = 34.5 \]

4. Найти радиус окружности, вписанной в прямоугольный треугольник ABC. Если:

катеты: |AC| = 5, |BC| = 12.

Радиус окружности, вписанной в прямоугольный треугольник, равен:
\[ r = \frac{a + b - c}{2} \]

Где \( a \) и \( b \) — катеты, \( c \) — гипотенуза.
Сначала найдем гипотенузу, используя теорему Пифагора:
\[ c = \sqrt{5^2 + 12^2} = \sqrt{25 + 144} = \sqrt{169} = 13 \]

Теперь находим радиус:
\[ r = \frac{5 + 12 - 13}{2} = \frac{4}{2} = 2 \]

5. Точка G — середина отрезка MN. Прямые a и b параллельны (параллелограмм) ABCD. Найти координаты точки G.

Для нахождения координат точки G, воспользуемся формулой средней точки:
Если M(x₁, y₁, z₁) и N(x₂, y₂, z₂), то координаты точки G:
\[ G = \left(\frac{x_1 + x_2}{2}, \frac{y_1 + y_2}{2}, \frac{z_1 + z_2}{2}\right) \]

6. Найти синус и тангенс угла MNT, если MN = 6, NT = 8.

Синус угла в прямоугольном треугольнике определяется как отношение противолежащего катета к гипотенузе.

Тангенс угла определяется как отношение противолежащего катета к прилежащему:

Гипотенуза MT будет:
\[ MT = \sqrt{6^2 + 8^2} = \sqrt{36 + 64} = \sqrt{100} = 10 \]

Синус угла:
\[ \sin = \frac{6}{10} = 0.6 \]

Тангенс угла:
\[ \tan = \frac{6}{8} = 0.75 \]

Это подробное решение заданий. Если есть еще вопросы или нужна дополнительная информация, пожалуйста, дайте знать!