Дана функция у = f(x), где y = 1, если x < - 1 y = x ^ 2 если - 1 <= x <= 2 y = x + 2 , если x > 2 а) Вычислить f(-2); f(0), f(1), f(3). б) Построить график функции y = f(x)!

Для начала давайте разберёмся с заданной функцией \( y = f(x) \):

1. \( f(x) = 1 \), если \( x < -1 \)
2. \( f(x) = x^2 \), если \( -1 \leq x \leq 2 \)
3. \( f(x) = x + 2 \), если \( x > 2 \)

Теперь давайте выполним пункт (а) и вычислим значения функции для указанных \( x \):

а) Вычисления значений функции

1. Вычисляем \( f(-2) \):

   • Поскольку \(-2 < -1\), используем первое определение функции.
   • \( f(-2) = 1 \)

2. Вычисляем \( f(0) \):

   • \( 0 \) попадает в диапазон \(-1 \leq x \leq 2\).
   • Используем второе определение: \( f(0) = 0^2 = 0 \)

3. Вычисляем \( f(1) \):

   • \( 1 \) также находится в диапазоне \(-1 \leq x \leq 2\).
   • \( f(1) = 1^2 = 1 \)

4. Вычисляем \( f(3) \):

   • \( 3 > 2 \), значит, используем третье определение.
   • \( f(3) = 3 + 2 = 5 \)

Таким образом, мы получили следующие значения функции:

• \( f(-2) = 1 \)
• \( f(0) = 0 \)
• \( f(1) = 1 \)
• \( f(3) = 5 \)

б) Построение графика функции \( y = f(x) \)

Теперь давайте построим график функции. Мы знаем, что функция определена по частям. Теперь нам нужно учесть все три части функции и определить диапазоны.

1. Для \( x < -1 \):

   • Функция постоянна и равна 1. Это горизонтальная линия на уровне \( y = 1 \).

2. Для \( -1 \leq x \leq 2 \):

   • Функция здесь представлена как \( y = x^2 \). Это парабола, открытая вверх, и проходит через точки:
     • В точке \( x = -1: y = (-1)^2 = 1 \)
     • В точке \( x = 0: y = 0 \)
     • В точке \( x = 1: y = 1 \)
     • В точке \( x = 2: y = 2 \)

3. Для \( x > 2 \):

   • Здесь функция линейная: \( y = x + 2 \). Это прямая, которая начинает с точки \( (2, 2) \) и продолжается вверх, проходя через:
     • Если \( x = 3, y = 5 \)

Заключение по построению графика:

Теперь мы можем изобразить функцию:

• Отметим горизонтальную линию \( y = 1 \) для \( x < -1 \).
• Затем нарисуем параболу для \( -1 \leq x \leq 2 \), которая проходит через точки \( (-1, 1) \), \( (0, 0) \), \( (1, 1) \), и \( (2, 2) \).
• Наконец, нарисуем линию, начинающуюся в точке \( (2, 2) \) и продолжающуюся вверх для \( x > 2 \).

Таким образом, у нас получится график, состоящий из известного кусочного определения.