Решить

Чтобы найти длину вектора \(\overrightarrow{AB}\), нужно использовать формулу для расчёта длины вектора в пространстве:

\[ |\overrightarrow{AB}| = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2 + (z_2 - z_1)^2} \]

У нас есть точки \( A(4, 3, 0) \) и \( B(1, 1, \sqrt{3}) \). Подставим их координаты в формулу:

1. Вычислим разности координат: \[ x_2 - x_1 = 1 - 4 = -3 \] \[ y_2 - y_1 = 1 - 3 = -2 \] \[ z_2 - z_1 = \sqrt{3} - 0 = \sqrt{3} \]

2. Подставим эти значения в формулу длины: \[ |\overrightarrow{AB}| = \sqrt{(-3)^2 + (-2)^2 + (\sqrt{3})^2} \]

3. Посчитаем квадраты: \[ (-3)^2 = 9 \] \[ (-2)^2 = 4 \] \[ (\sqrt{3})^2 = 3 \]

4. Сложим их: \[ 9 + 4 + 3 = 16 \]

5. Корень из числа: \[ \sqrt{16} = 4 \]

Таким образом, длина вектора \(\overrightarrow{AB}\) равна 4.