Чтобы решить эту задачу, давайте обозначим некоторые переменные и разберем её по шагам.
Обозначим:
- ( v ) — собственная скорость баржи (в км/ч).
- Скорость течения реки равна ( 5 ) км/ч.
Когда баржа плывет по течению, её скорость относительно земли будет равна сумме её собственной скорости и скорости течения:
[ v + 5 , \text{км/ч} ]
Когда баржа плывет против течения, её скорость относительно земли будет равна разности её собственной скорости и скорости течения:
[ v - 5 , \text{км/ч} ]
Теперь разберем путь баржи:
- По течению реки баржа прошла ( 40 ) км.
- Назад, против течения, баржа прошла ( 30 ) км.
Для нахождения времени, затраченного на каждый из этапов, можно воспользоваться формулой:
[ \text{время} = \frac{\text{расстояние}}{\text{скорость}} ]
Путь по течению:
Время, затраченное на путь по течению:
[
t_1 = \frac{40}{v + 5}
]
Путь против течения:
Время, затраченное на путь против течения:
[
t_2 = \frac{30}{v - 5}
]
Полное время:
Согласно условию задачи, общее время на оба пути равно ( 5 ) часов:
[
t_1 + t_2 = 5
]
Подставим выражения для ( t_1 ) и ( t_2 ):
[
\frac{40}{v + 5} + \frac{30}{v - 5} = 5
]
Решение уравнения:
Умножим обе стороны уравнения на ( (v + 5)(v - 5) ), чтобы избавиться от дробей:
[
40(v - 5) + 30(v + 5) = 5(v^2 - 25)
]
Раскроем скобки:
[
40v - 200 + 30v + 150 = 5v^2 - 125
]
Соберем все члены на одной стороне:
[
70v - 50 = 5v^2 - 125
]
Приведем уравнение к стандартному квадратному виду:
[
5v^2 - 70v - 75 = 0
]
Разделим всё на ( 5 ):
[
v^2 - 14v - 15 = 0
]
Найдем корни уравнения:
Используем дискриминант:
[
D = b^2 - 4ac = (-14)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-15) = 196 + 60 = 256
]
Корни уравнения находятся по формуле:
[
v = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{14 \pm 16}{2}
]
Находим два корня:
- ( v_1 = \frac{30}{2} = 15 )
- ( v_2 = \frac{-2}{2} = -1 ) (отрицательное значение не имеет смысла в данном контексте)
Таким образом, собственная скорость баржи:
[
v = 15 , \text{км/ч}
]
Ответ:
Собственная скорость баржи равна ( 15 ) км/ч.
