1.16. Баржа прошла по течению реки 40 км и, повернув обратно, прошла ещё 30 км, затратив на весь путь 5 часов. Найдите собственную скорость баржи, если скорость течения реки равна…

Чтобы решить эту задачу, давайте обозначим некоторые переменные и разберем её по шагам.

Обозначим:

• \( v \) — собственная скорость баржи (в км/ч).
• Скорость течения реки равна \( 5 \) км/ч.

Когда баржа плывет по течению, её скорость относительно земли будет равна сумме её собственной скорости и скорости течения: \[ v + 5 \, \text{км/ч} \]

Когда баржа плывет против течения, её скорость относительно земли будет равна разности её собственной скорости и скорости течения: \[ v - 5 \, \text{км/ч} \]

Теперь разберем путь баржи:

1. По течению реки баржа прошла \( 40 \) км.
2. Назад, против течения, баржа прошла \( 30 \) км.

Для нахождения времени, затраченного на каждый из этапов, можно воспользоваться формулой: \[ \text{время} = \frac{\text{расстояние}}{\text{скорость}} \]

Путь по течению:

Время, затраченное на путь по течению: \[ t_1 = \frac{40}{v + 5} \]

Путь против течения:

Время, затраченное на путь против течения: \[ t_2 = \frac{30}{v - 5} \]

Полное время:

Согласно условию задачи, общее время на оба пути равно \( 5 \) часов: \[ t_1 + t_2 = 5 \] Подставим выражения для \( t_1 \) и \( t_2 \): \[ \frac{40}{v + 5} + \frac{30}{v - 5} = 5 \]

Решение уравнения:

Умножим обе стороны уравнения на \( (v + 5)(v - 5) \), чтобы избавиться от дробей: \[ 40(v - 5) + 30(v + 5) = 5(v^2 - 25) \] Раскроем скобки: \[ 40v - 200 + 30v + 150 = 5v^2 - 125 \] Соберем все члены на одной стороне: \[ 70v - 50 = 5v^2 - 125 \] Приведем уравнение к стандартному квадратному виду: \[ 5v^2 - 70v - 75 = 0 \] Разделим всё на \( 5 \): \[ v^2 - 14v - 15 = 0 \]

Найдем корни уравнения:

Используем дискриминант: \[ D = b^2 - 4ac = (-14)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-15) = 196 + 60 = 256 \] Корни уравнения находятся по формуле: \[ v = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{14 \pm 16}{2} \] Находим два корня:

1. \( v_1 = \frac{30}{2} = 15 \)
2. \( v_2 = \frac{-2}{2} = -1 \) (отрицательное значение не имеет смысла в данном контексте)

Таким образом, собственная скорость баржи: \[ v = 15 \, \text{км/ч} \]

Ответ:

Собственная скорость баржи равна \( 15 \) км/ч.