Построить график функции y=-x²+2x+2

Чтобы построить график функции \( y = -x^2 + 2x + 2 \), давайте пройдемся по шагам: ### Шаг 1: Приведение функции к стандартному виду Функция представляет собой квадратное уравнение, которое имеет вид \( y = ax^2 + bx + c \), где: - \( a = -1 \) - \( b = 2 \) - \( c = 2 \) ### Шаг 2: Определение ключевых характеристик параболы 1. **Ветви параболы:** Поскольку \( a = -1 \) (отрицательное значение), парабола будет «лежать вниз», то есть ветви будут направлены вниз. 2. **Координаты вершины параболы:** Вершину параболы можно найти по формуле: \[ x_{вершина} = -\frac{b}{2a} \] Подставим значения \( a \) и \( b \): \[ x_{вершина} = -\frac{2}{2 \cdot (-1)} = 1 \] Теперь найдем значение \( y \) в вершине, подставив \( x_{вершина} = 1 \) в уравнение функции: \[ y_{вершина} = -1^2 + 2 \cdot 1 + 2 = -1 + 2 + 2 = 3 \] Таким образом, координаты вершины: \( (1, 3) \). 3. **Пересечение с осью \( y \):** Для нахождения точки пересечения с осью \( y \) подставляем \( x = 0 \): \[ y = -0^2 + 2 \cdot 0 + 2 = 2 \] То есть точка пересечения с осью \( y \) — это \( (0, 2) \). 4. **Пересечение с осью \( x \):** Для нахождения корней уравнения решаем \( y = 0 \): \[ -x^2 + 2x + 2 = 0 \] Умножим на -1: \[ x^2 - 2x - 2 = 0 \] Используем формулу дискриминанта: \[ D = b^2 - 4ac = (-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-2) = 4 + 8 = 12 \] Корни: \[ x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{2 \pm \sqrt{12}}{2} = 1 \pm \sqrt{3} \] Таким образом, точки пересечения с осью \( x \): \[ x_1 = 1 + \sqrt{3}, \quad x_2 = 1 - \sqrt{3} \] ### Шаг 3: Построение графика 1. **Нанесем точки:** - Вершина: \( (1, 3) \) - Пересечение с осью \( y \): \( (0, 2) \) - Пересечения с осью \( x \): \( (1 + \sqrt{3}, 0) \) и \( (1 - \sqrt{3}, 0) \) 2. **Рисуем оси координат.** 3. **Наносим найденные точки.** 4. **Соединяем точки, образуя параболу, направленную вниз.** Таким образом, график функции \( y = -x^2 + 2x + 2 \) будет иметь форму параболы, вершина которой находится в точке \( (1, 3) \), с пересечениями на осях, как указано выше. Теперь вы можете нарисовать график, используя эти точки и форму параболы!