построить график функции y=-x²+2x+2

Чтобы построить график функции \( y = -x^2 + 2x + 2 \), давайте пройдемся по шагам:

Шаг 1: Приведение функции к стандартному виду

Функция представляет собой квадратное уравнение, которое имеет вид \( y = ax^2 + bx + c \), где:

• \( a = -1 \)
• \( b = 2 \)
• \( c = 2 \)

Шаг 2: Определение ключевых характеристик параболы

1. Ветви параболы: Поскольку \( a = -1 \) (отрицательное значение), парабола будет «лежать вниз», то есть ветви будут направлены вниз.

2. Координаты вершины параболы: Вершину параболы можно найти по формуле: \[ x_{вершина} = -\frac{b}{2a} \] Подставим значения \( a \) и \( b \): \[ x_{вершина} = -\frac{2}{2 \cdot (-1)} = 1 \]

   Теперь найдем значение \( y \) в вершине, подставив \( x_{вершина} = 1 \) в уравнение функции: \[ y_{вершина} = -1^2 + 2 \cdot 1 + 2 = -1 + 2 + 2 = 3 \] Таким образом, координаты вершины: \( (1, 3) \).

3. Пересечение с осью \( y \): Для нахождения точки пересечения с осью \( y \) подставляем \( x = 0 \): \[ y = -0^2 + 2 \cdot 0 + 2 = 2 \] То есть точка пересечения с осью \( y \) — это \( (0, 2) \).

4. Пересечение с осью \( x \): Для нахождения корней уравнения решаем \( y = 0 \): \[ -x^2 + 2x + 2 = 0 \] Умножим на -1: \[ x^2 - 2x - 2 = 0 \] Используем формулу дискриминанта: \[ D = b^2 - 4ac = (-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-2) = 4 + 8 = 12 \] Корни: \[ x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{2 \pm \sqrt{12}}{2} = 1 \pm \sqrt{3} \] Таким образом, точки пересечения с осью \( x \): \[ x_1 = 1 + \sqrt{3}, \quad x_2 = 1 - \sqrt{3} \]

Шаг 3: Построение графика

1. Нанесем точки:

   • Вершина: \( (1, 3) \)
   • Пересечение с осью \( y \): \( (0, 2) \)
   • Пересечения с осью \( x \): \( (1 + \sqrt{3}, 0) \) и \( (1 - \sqrt{3}, 0) \)

2. Рисуем оси координат.

3. Наносим найденные точки.

4. Соединяем точки, образуя параболу, направленную вниз.

Таким образом, график функции \( y = -x^2 + 2x + 2 \) будет иметь форму параболы, вершина которой находится в точке \( (1, 3) \), с пересечениями на осях, как указано выше.

Теперь вы можете нарисовать график, используя эти точки и форму параболы!