Даны векторы a=(-20;10;-15) и b(а;-2;3). При каком значении k векторы a и b перпендикулярны

Чтобы определить, при каком значении \( k \) векторы \( \mathbf{a} = (-20; 10; -15) \) и \( \mathbf{b} = (k; -2; 3) \) будут перпендикулярны, мы должны использовать свойство перпендикулярности векторов.

Векторы являются перпендикулярными, если их скалярное произведение равно нулю. Скалярное произведение векторов \( \mathbf{a} \) и \( \mathbf{b} \) вычисляется по формуле:

\[ \mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = a_1 b_1 + a_2 b_2 + a_3 b_3 \]

Где \( \mathbf{a} = (a_1, a_2, a_3) \) и \( \mathbf{b} = (b_1, b_2, b_3) \).

Подставим значения векторов \( \mathbf{a} \) и \( \mathbf{b} \):

\[ \mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = (-20) \cdot k + 10 \cdot (-2) + (-15) \cdot 3 \]

Теперь вычислим каждую из частей:

1. \( -20k \)
2. \( 10 \cdot (-2) = -20 \)
3. \( -15 \cdot 3 = -45 \)

Теперь объединяем все:

\[ \mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = -20k - 20 - 45 \]

Соберём подобные слагаемые:

\[ \mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = -20k - 65 \]

Чтобы векторы были перпендикулярны, это скалярное произведение должно равняться нулю:

\[ -20k - 65 = 0 \]

Теперь решим уравнение для \( k \):

\[ -20k = 65 \]

\[ k = -\frac{65}{20} \]

Упростим дробь:

\[ k = -\frac{13}{4} \quad \text{или} \quad k = -3.25 \]

Таким образом, векторы \( \mathbf{a} \) и \( \mathbf{b} \) будут перпендикулярны при \( k = -3.25 \).