Найти сумму всех натуральных чисел, кратных 4 и не превосходящих 100

Чтобы найти сумму всех натуральных чисел, кратных 4 и не превосходящих 100, сначала определим все такие числа.

Числа, кратные 4 и не превосходящие 100, это:

4, 8, 12, 16, 20, 24, 28, 32, 36, 40, 44, 48, 52, 56, 60, 64, 68, 72, 76, 80, 84, 88, 92, 96, 100.

Это арифметическая прогрессия с первым членом \( a_1 = 4 \) и последним членом \( a_n = 100 \), где разность \( d = 4 \).

Теперь найдем количество членов этой прогрессии. Обозначим количество членов как \( n \).

Формула для \( n \)-го члена арифметической прогрессии: \[ a_n = a_1 + (n-1) \cdot d \]

Подставим известные значения: \[ 100 = 4 + (n-1) \cdot 4 \]

Решим это уравнение: \[ 100 - 4 = (n-1) \cdot 4 \] \[ 96 = (n-1) \cdot 4 \] \[ n-1 = 24 \] \[ n = 25 \]

Теперь, чтобы найти сумму членов арифметической прогрессии (S), воспользуемся формулой: \[ S_n = \frac{n}{2} \cdot (a_1 + a_n) \]

Подставим значения: \[ S_{25} = \frac{25}{2} \cdot (4 + 100) = \frac{25}{2} \cdot 104 \] \[ S_{25} = 25 \cdot 52 = 1300 \]

Таким образом, сумма всех натуральных чисел, кратных 4 и не превосходящих 100, равна 1300.