f(x)=2x3+3x²-36x, [-5,4] найти наибольшее и наименьшее значение функции на отрезке
Чтобы найти наибольшее и наименьшее значение функции \( f(x) = 2x^3 + 3x^2 - 36x \) на отрезке \([-5, 4]\), следуем этим шагам:
Шаг 1: Найдем производную функции
Производная функции \( f(x) \) поможет нам найти критические точки, где функция может достигать значений максимумов или минимумов.
Найдём производную \( f'(x) \):
\[ f'(x) = \frac{d}{dx}(2x^3 + 3x^2 - 36x) = 6x^2 + 6x - 36 \]
Шаг 2: Найдем критические точки
Чтобы найти критические точки, решим уравнение \( f'(x) = 0 \):
\[ 6x^2 + 6x - 36 = 0 \]
Упростим уравнение, поделив все его члены на 6:
\[ x^2 + x - 6 = 0 \]
Решим это квадратное уравнение:
\[ x^2 + x - 6 = (x - 2)(x + 3) = 0 \]
Таким образом, критические точки:
\[ x = 2 \quad \text{и} \quad x = -3 \]
Шаг 3: Определим значения функции в критических точках и на концах интервала
Теперь найдем значения функции \( f(x) \) в критических точках и на концах отрезка:
На концах отрезка:
\( f(-5) \): \[ f(-5) = 2(-5)^3 + 3(-5)^2 - 36(-5) = 2(-125) + 3(25) + 180 = -250 + 75 + 180 = 5 \]
\( f(4) \): \[ f(4) = 2(4)^3 + 3(4)^2 - 36(4) = 2(64) + 3(16) - 144 = 128 + 48 - 144 = 32 \]
В критических точках:
\( f(2) \): \[ f(2) = 2(2)^3 + 3(2)^2 - 36(2) = 2(8) + 3(4) - 72 = 16 + 12 - 72 = -44 \]
\( f(-3) \): \[ f(-3) = 2(-3)^3 + 3(-3)^2 - 36(-3) = 2(-27) + 3(9) + 108 = -54 + 27 + 108 = 81 \]
Шаг 4: Сравним значения
Теперь мы сравним найденные значения:
- \( f(-5) = 5 \)
- \( f(4) = 32 \)
- \( f(2) = -44 \)
- \( f(-3) = 81 \)
Результаты
- Наименьшее значение функции на отрезке \([-5, 4]\): \( \min f(x) = -44 \) при \( x = 2 \)
- Наибольшее значение функции на отрезке \([-5, 4]\): \( \max f(x) = 81 \) при \( x = -3 \)
Итак, наивысшее и наименьшее значения функции на заданном отрезке:
- Наибольшее значение: 81
- Наименьшее значение: -44
