Найдите корень уравнения (1/7)^x + 4 =49 .

Давайте решим уравнение \( \left(\frac{1}{7}\right)^x + 4 = 49 \) и подробно разберём каждый шаг.

Шаг 1: Перенос 4 на другую сторону уравнения

Начнем с того, что нам нужно изолировать выражение с \( x \). Для этого вычтем 4 из обеих сторон уравнения:

\[ \left(\frac{1}{7}\right)^x = 49 - 4 \]

Это упрощается до:

\[ \left(\frac{1}{7}\right)^x = 45 \]

Шаг 2: Преобразование основания

Теперь давайте представим \( \frac{1}{7} \) как \( 7^{-1} \):

\[ \left(7^{-1}\right)^x = 45 \]

Это можно переписать как:

\[ 7^{-x} = 45 \]

Шаг 3: Применение логарифмов

Для того чтобы решить уравнение, полезно взять логарифм от обеих сторон. Мы можем использовать логарифм с любым основанием, но в этом случае удобно использовать основание 10 или натуральный логарифм. Воспользуемся логарифмом по основанию 10:

\[ \log(7^{-x}) = \log(45) \]

Шаг 4: Упрощение уравнения

Используя свойства логарифмов, мы можем вынести \(-x\) за пределы логарифма:

\[ -x \log(7) = \log(45) \]

Теперь выразим \( x \):

\[ -x = \frac{\log(45)}{\log(7)} \]

Умножим обе стороны на \(-1\):

\[ x = -\frac{\log(45)}{\log(7)} \]

Шаг 5: Вычисление значений логарифмов

Чтобы получить численное значение для \( x \), нужно посчитать значения логарифмов. Используя калькулятор, находим:

• \( \log(45) \approx 1.6532 \)
• \( \log(7) \approx 0.8451 \)

Теперь подставим эти значения в выражение для \( x \):

\[ x \approx -\frac{1.6532}{0.8451} \approx -1.95 \]

Ответ

Таким образом, корень уравнения \( \left(\frac{1}{7}\right)^x + 4 = 49 \) приблизительно равен \( x \approx -1.95 \).

Если у вас возникнут вопросы по решениям или логарифмам, не стесняйтесь спрашивать!