1.Длинный, равномерно заряженный по всей поверхности цилиндрический стержень радиусом r = 0,1 м движется с постоян- ной скоростью v = 10 м/с, направленной вдоль его оси. Напряжен-…

Давайте разберем обе задачи одну за другой.

Задача 1

Условия задачи:
Мы имеем цилиндрический стержень радиусом \( r = 0,1 \, \text{м} \), который движется с постоянной скоростью \( v = 10 \, \text{м/с} \). Дано напряжение электрического поля у поверхности стержня \( E = 9 \cdot 10^4 \, \text{В/м} \). Необходимо найти силу тока, обусловленную механическим перемещением зарядов.

Решение:

1. Опредлим плотность заряда на поверхности стержня (σ):
   Напряженность электрического поля можно выразить через плотность заряда следующей формулой: \[ E = \frac{\sigma}{\varepsilon_0} \] где \( \varepsilon_0 \) — электрическая постоянная, равная примерно \( 8,85 \cdot 10^{-12} \, \text{Ф/м} \).

   Подставляем известные значения: \[ 9 \cdot 10^4 = \frac{\sigma}{8,85 \cdot 10^{-12}} \implies \sigma = 9 \cdot 10^4 \cdot 8,85 \cdot 10^{-12} \approx 7,96 \cdot 10^{-7} \, \text{Кл/м}^2 \]

2. Найдём объемный ток (J):
   Объемный ток связан с плотностью заряда и скоростью его движения: \[ J = \sigma v = 7,96 \cdot 10^{-7} \cdot 10 = 7,96 \cdot 10^{-6} \, \text{А/м}^2 \]

3. Найдём силу тока (I):
   Сила тока может быть найдена по формуле: \[ I = J \cdot A \] где \( A \) — площадь поперечного сечения стержня. Площадь стержня можно найти через радиус \( r \): \[ A = \pi r^2 = \pi (0,1)^2 \approx 3,14 \cdot 10^{-2} \, \text{м}^2 \]

   Теперь подставим объемный ток и площадь: \[ I = 7,96 \cdot 10^{-6} \cdot 3,14 \cdot 10^{-2} \approx 2,50 \cdot 10^{-7} \, \text{А} \]

Таким образом, сила тока, обусловленная механическим перемещением зарядов, составляет примерно \( 2,50 \cdot 10^{-7} \, \text{А} \).

Задача 2

Условия задачи:
Угольный стержень соединен последовательно с железным стержнем такой же толщины. Необходимо определить соотношение их длин, при котором сопротивление данной комбинации не зависит от температуры. Дано:

• Температурные коэффициенты сопротивления:
  • \( \alpha_1 = -0,8 \cdot 10^{-3} \, \text{град}^{-1} \)
  • \( \alpha_2 = 6 \cdot 10^{-3} \, \text{град}^{-1} \)
• Удельные сопротивления:
  • \( \rho_1 = 4 \cdot 10^{-5} \, \Omega \cdot \text{м} \)
  • \( \rho_2 = 1,2 \cdot 10^{-7} \, \Omega \cdot \text{м} \)

Решение:

1. Сопротивления стержней: Сопротивление провода можно выразить формулой: \[ R = \frac{\rho L}{S} \] где \( L \) — длина провода, \( S \) — его площадь поперечного сечения (предположим, что они одинаковы). Для угольного и железного стержней: \[ R_1 = \frac{\rho_1 L_1}{S}, \quad R_2 = \frac{\rho_2 L_2}{S} \]

   Таким образом, общее сопротивление: \[ R_{total} = R_1 + R_2 = \frac{\rho_1 L_1}{S} + \frac{\rho_2 L_2}{S} = \frac{\rho_1 L_1 + \rho_2 L_2}{S} \]

2. Сопротивление как функция температуры:
   Сопротивление изменяется с температурой по формуле: \[ R = R_0 (1 + \alpha \Delta T) \] Таким образом, для каждого материала:

   1. Для угольного: \( R_1 = R_{10} (1 + \alpha_1 \Delta T) \)
   2. Для железного: \( R_2 = R_{20} (1 + \alpha_2 \Delta T) \)

3. Условия, при которых общее сопротивление не зависит от температуры:
   Мы должны настроить длины \( L_1 \) и \( L_2 \) так, чтобы производная общего сопротивления по температуре равнялась нулю. То есть:

   \[ \frac{dR_{total}}{dT} = 0 \implies R_1 \alpha_1 + R_2 \alpha_2 = 0 \]

   Заменяя \( R_1 \) и \( R_2 \) из расчета: \[ \frac{\rho_1 L_1}{S} \alpha_1 + \frac{\rho_2 L_2}{S} \alpha_2 = 0 \] Убирая \( S \): \[ \rho_1 L_1 \alpha_1 + \rho_2 L_2 \alpha_2 = 0 \]

   Перепишем выражение в виде: \[ L_1 \alpha_1 = -L_2 \alpha_2 \]

   Таким образом: \[ \frac{L_1}{L_2} = -\frac{\alpha_2}{\alpha_1} = \frac{6 \cdot 10^{-3}}{-0,8 \cdot 10^{-3}} = -\frac{6}{-0,8} = 7,5 \]

Финальный ответ: Соотношение длин стержней \( L_1 : L_2 = 7,5:1 \).