1.Длинный, равномерно заряженный по всей поверхности
цилиндрический стержень радиусом r = 0,1 м движется с постоян-
ной скоростью v = 10 м/с, направленной вдоль его оси. Напряжен-
ность электрического поля у поверхности стержня Е = 9·104 В/м.
Найдите силу тока, обусловленного механическим перемещением
зарядов.
2. Угольный стержень соединен последовательно с железным
стержнем такой же толщины. При каком соотношении их длин со-
противление данной комбинации не зависит от температуры? Тем-
пературные коэффициенты сопротивления угля и железа соответст-
венно α1 = –0,8·10–3 град–1 и α2 = 6·10–3 град–1, ρ1 = 4·10–5 Ом · м,
ρ2 = 1,2·10–7 Ом · м.
Давайте разберем обе задачи одну за другой.
### Задача 1
**Условия задачи:**
Мы имеем цилиндрический стержень радиусом \( r = 0,1 \, \text{м} \), который движется с постоянной скоростью \( v = 10 \, \text{м/с} \). Дано напряжение электрического поля у поверхности стержня \( E = 9 \cdot 10^4 \, \text{В/м} \). Необходимо найти силу тока, обусловленную механическим перемещением зарядов.
**Решение:**
1. **Опредлим плотность заряда на поверхности стержня (σ):**
Напряженность электрического поля можно выразить через плотность заряда следующей формулой:
\[
E = \frac{\sigma}{\varepsilon_0}
\]
где \( \varepsilon_0 \) — электрическая постоянная, равная примерно \( 8,85 \cdot 10^{-12} \, \text{Ф/м} \).
Подставляем известные значения:
\[
9 \cdot 10^4 = \frac{\sigma}{8,85 \cdot 10^{-12}} \implies \sigma = 9 \cdot 10^4 \cdot 8,85 \cdot 10^{-12} \approx 7,96 \cdot 10^{-7} \, \text{Кл/м}^2
\]
2. **Найдём объемный ток (J):**
Объемный ток связан с плотностью заряда и скоростью его движения:
\[
J = \sigma v = 7,96 \cdot 10^{-7} \cdot 10 = 7,96 \cdot 10^{-6} \, \text{А/м}^2
\]
3. **Найдём силу тока (I):**
Сила тока может быть найдена по формуле:
\[
I = J \cdot A
\]
где \( A \) — площадь поперечного сечения стержня. Площадь стержня можно найти через радиус \( r \):
\[
A = \pi r^2 = \pi (0,1)^2 \approx 3,14 \cdot 10^{-2} \, \text{м}^2
\]
Теперь подставим объемный ток и площадь:
\[
I = 7,96 \cdot 10^{-6} \cdot 3,14 \cdot 10^{-2} \approx 2,50 \cdot 10^{-7} \, \text{А}
\]
Таким образом, **сила тока, обусловленная механическим перемещением зарядов, составляет примерно \( 2,50 \cdot 10^{-7} \, \text{А} \)**.
### Задача 2
**Условия задачи:**
Угольный стержень соединен последовательно с железным стержнем такой же толщины. Необходимо определить соотношение их длин, при котором сопротивление данной комбинации не зависит от температуры. Дано:
- Температурные коэффициенты сопротивления:
- \( \alpha_1 = -0,8 \cdot 10^{-3} \, \text{град}^{-1} \)
- \( \alpha_2 = 6 \cdot 10^{-3} \, \text{град}^{-1} \)
- Удельные сопротивления:
- \( \rho_1 = 4 \cdot 10^{-5} \, \Omega \cdot \text{м} \)
- \( \rho_2 = 1,2 \cdot 10^{-7} \, \Omega \cdot \text{м} \)
**Решение:**
1. **Сопротивления стержней:**
Сопротивление провода можно выразить формулой:
\[
R = \frac{\rho L}{S}
\]
где \( L \) — длина провода, \( S \) — его площадь поперечного сечения (предположим, что они одинаковы). Для угольного и железного стержней:
\[
R_1 = \frac{\rho_1 L_1}{S}, \quad R_2 = \frac{\rho_2 L_2}{S}
\]
Таким образом, общее сопротивление:
\[
R_{total} = R_1 + R_2 = \frac{\rho_1 L_1}{S} + \frac{\rho_2 L_2}{S} = \frac{\rho_1 L_1 + \rho_2 L_2}{S}
\]
2. **Сопротивление как функция температуры:**
Сопротивление изменяется с температурой по формуле:
\[
R = R_0 (1 + \alpha \Delta T)
\]
Таким образом, для каждого материала:
1. Для угольного: \( R_1 = R_{10} (1 + \alpha_1 \Delta T) \)
2. Для железного: \( R_2 = R_{20} (1 + \alpha_2 \Delta T) \)
3. **Условия, при которых общее сопротивление не зависит от температуры:**
Мы должны настроить длины \( L_1 \) и \( L_2 \) так, чтобы производная общего сопротивления по температуре равнялась нулю. То есть:
\[
\frac{dR_{total}}{dT} = 0 \implies R_1 \alpha_1 + R_2 \alpha_2 = 0
\]
Заменяя \( R_1 \) и \( R_2 \) из расчета:
\[
\frac{\rho_1 L_1}{S} \alpha_1 + \frac{\rho_2 L_2}{S} \alpha_2 = 0
\]
Убирая \( S \):
\[
\rho_1 L_1 \alpha_1 + \rho_2 L_2 \alpha_2 = 0
\]
Перепишем выражение в виде:
\[
L_1 \alpha_1 = -L_2 \alpha_2
\]
Таким образом:
\[
\frac{L_1}{L_2} = -\frac{\alpha_2}{\alpha_1} = \frac{6 \cdot 10^{-3}}{-0,8 \cdot 10^{-3}} = -\frac{6}{-0,8} = 7,5
\]
**Финальный ответ:** Соотношение длин стержней \( L_1 : L_2 = 7,5:1 \).
