Для решения задачи о максимальном расстоянии распределения ключа при шифровании голоса по протоколу B84, нужно рассмотреть несколько факторов, влияющих на эффективность передачи прошедшего через квантовый канал. Подробно разберем каждый шаг.
Дано
- Скорость генерации ключа: 5 кбит/с (или 5000 бит/с).
- Частота лазерных импульсов: 1 Гц, то есть 1 импульс в секунду.
- Количество фотонов на импульс: 0,1 фотон.
- Потери в канале: 0,3 дБ/км.
- Эффективность детекторов: 10% (или 0,1).
Шаги решения
Шаг 1: Вычисление количества фотонов, необходимых для передачи ключа
Каждый бит ключа передается с использованием одного лазерного импульса. Чтобы определить максимальное расстояние передачи, нам сначала нужно узнать, сколько фотонов потребуется для успешной детекции одного бита при заданных потерях.
Обозначим:
- ( R = 5 , \text{кбит/с} = 5000 , \text{бит/с} )
- ( P = 0.1 , \text{фотона/импульс} )
- ( E = 0.1 , \text{(эффективность детекторов)} )
- ( L_d = 0.3 , \text{дБ/км} )
Поскольку передача одного бита требует регистрации одного фотона, необходимо, чтобы в результате передачи на детекторе был как минимум один регистрируемый фотон.
Шаг 2: Перевод потерь в линейное значение
Потеря в дБ может быть переведена в линейную величину следующим образом:
[
L = 10^{-\frac{0.3}{10}} \approx 0.937
]
Каждый километр передачи вызывает потерю силы сигнала в размере 0.937.
Шаг 3: Расчет количества фотонов на километр
При передаче сигнала через ( x ) км, количество фотонов на детекторе можно найти уравнением:
[
N = P \cdot E \cdot (L)^x
]
где
- ( N ) - количество фотонов на детекторе,
- ( P ) - изначальное количество фотонов на импульс,
- ( E ) - эффективность детекторов,
- ( L ) - потери в канале в линейном выражении.
Для того чтобы обнаружить 1 фотон на выходе, мы решаем уравнение:
[
1 = 0.1 \cdot 0.1 \cdot (0.937)^x
]
Шаг 4: Решение уравнения
Переписываем уравнение:
[
(0.937)^x = \frac{1}{0.01} = 100
]
Применяем логарифм:
[
\log(0.937^x) = \log(100)
]
Используем свойство логарифмов:
[
x \cdot \log(0.937) = 2 \implies x = \frac{2}{\log(0.937)}
]
Теперь пересчитаем ( \log(0.937) ):
[
\log(0.937) \approx -0.029
]
Подставляем значение:
[
x \approx \frac{2}{-0.029} \approx -68.97 \approx 69 \text{ км}
]
Шаг 5: Заключение
Таким образом, максимальное расстояние квантового распределения ключа по протоколу B84 для шифрования голоса составляет около:
69 км.
Это расстояние при заданных потерях и условиях. Это значит, что можно безопасно передавать ключ для шифрования голоса на такое расстояние без значительных потерь.
