Чтобы шифровать на лету голос человека методом одноразовых блокнотов, нужен ключ, генерируемый со скоростью 5 кбит/с. Пусть лазерные импульсы, следующие с частотой 1 Гц, содержат…

Для решения задачи о максимальном расстоянии распределения ключа при шифровании голоса по протоколу B84, нужно рассмотреть несколько факторов, влияющих на эффективность передачи прошедшего через квантовый канал. Подробно разберем каждый шаг.

Дано

1. Скорость генерации ключа: 5 кбит/с (или 5000 бит/с).
2. Частота лазерных импульсов: 1 Гц, то есть 1 импульс в секунду.
3. Количество фотонов на импульс: 0,1 фотон.
4. Потери в канале: 0,3 дБ/км.
5. Эффективность детекторов: 10% (или 0,1).

Шаги решения

Шаг 1: Вычисление количества фотонов, необходимых для передачи ключа

Каждый бит ключа передается с использованием одного лазерного импульса. Чтобы определить максимальное расстояние передачи, нам сначала нужно узнать, сколько фотонов потребуется для успешной детекции одного бита при заданных потерях.

Обозначим:

• \( R = 5 \, \text{кбит/с} = 5000 \, \text{бит/с} \)
• \( P = 0.1 \, \text{фотона/импульс} \)
• \( E = 0.1 \, \text{(эффективность детекторов)} \)
• \( L_d = 0.3 \, \text{дБ/км} \)

Поскольку передача одного бита требует регистрации одного фотона, необходимо, чтобы в результате передачи на детекторе был как минимум один регистрируемый фотон.

Шаг 2: Перевод потерь в линейное значение

Потеря в дБ может быть переведена в линейную величину следующим образом:

\[ L = 10^{-\frac{0.3}{10}} \approx 0.937 \]

Каждый километр передачи вызывает потерю силы сигнала в размере 0.937.

Шаг 3: Расчет количества фотонов на километр

При передаче сигнала через \( x \) км, количество фотонов на детекторе можно найти уравнением:

\[ N = P \cdot E \cdot (L)^x \]

где

• \( N \) - количество фотонов на детекторе,
• \( P \) - изначальное количество фотонов на импульс,
• \( E \) - эффективность детекторов,
• \( L \) - потери в канале в линейном выражении.

Для того чтобы обнаружить 1 фотон на выходе, мы решаем уравнение:

\[ 1 = 0.1 \cdot 0.1 \cdot (0.937)^x \]

Шаг 4: Решение уравнения

Переписываем уравнение:

\[ (0.937)^x = \frac{1}{0.01} = 100 \]

Применяем логарифм:

\[ \log(0.937^x) = \log(100) \]

Используем свойство логарифмов:

\[ x \cdot \log(0.937) = 2 \implies x = \frac{2}{\log(0.937)} \]

Теперь пересчитаем \( \log(0.937) \):

\[ \log(0.937) \approx -0.029 \]

Подставляем значение:

\[ x \approx \frac{2}{-0.029} \approx -68.97 \approx 69 \text{ км} \]

Шаг 5: Заключение

Таким образом, максимальное расстояние квантового распределения ключа по протоколу B84 для шифрования голоса составляет около:

69 км.

Это расстояние при заданных потерях и условиях. Это значит, что можно безопасно передавать ключ для шифрования голоса на такое расстояние без значительных потерь.