в группе 26 человек среди них единиц и Иван группа случайным образом делят на 13 пар Найдите вероятность того что единиц и Иван окажутся в одной паре

Давайте решим задачу по шагам.

Задача:

В группе 26 человек, среди которых есть единиц и Иван, случайным образом образуют 13 пар. Нужно найти вероятность того, что единиц и Иван окажутся в одной паре.

Шаг 1: Определим общее количество пар

У нас 26 человек, которые делятся на 13 пар. Это значит, что мы можем выбрать 2 человека для каждой пары, и в итоге образуется 13 пар.

Шаг 2: Общее количество способов образования пар

Чтобы найти общее количество способов разделить 26 человек на 13 пар, можно использовать формулу:

\[ \text{Количество способов} = \frac{26!}{(2!)^{13} \cdot 13!} \]

• \(26!\) — это количество способов расположения 26 человек.
• \((2!)^{13}\) — это деление на число способов перестановки в каждой паре (поскольку для пары порядок не важен), и таких пар у нас 13.
• \(13!\) — это деление на количество способов расположения самих пар.

Шаг 3: Количество способов образовать пары с единицем и Иваном в одной паре

Теперь мы будем считать случаи, когда единиц и Иван уже образуют одну пару. После этого остаются 24 человека, из которых нужно образовать 12 пар.

Количество способов образовать пары из оставшихся 24 человек:

\[ \text{Количество способов} = \frac{24!}{(2!)^{12} \cdot 12!} \]

Шаг 4: Вероятность того, что единиц и Иван в одной паре

Вероятность того, что единиц и Иван окажутся в одной паре, равна отношению количества способов образовать пары с единицем и Иваном в одной паре к общему количеству способов образования пар:

\[ P(\text{единиц и Иван в одной паре}) = \frac{\frac{24!}{(2!)^{12} \cdot 12!}}{\frac{26!}{(2!)^{13} \cdot 13!}} \]

Шаг 5: Упростим выражение

Упростим данное выражение:

\[ P = \frac{24! \cdot (2!)^{13} \cdot 13!}{26! \cdot (2!)^{12} \cdot 12!} \]

Сократим:

\[ P = \frac{24! \cdot 2 \cdot 13!}{26 \cdot 25 \cdot 24! \cdot 12!} \]

Теперь упростим:

\[ P = \frac{2 \cdot 13!}{26 \cdot 25 \cdot 12!} \]

Шаг 6: Используем свойства факториалов

У нас \(13! = 13 \cdot 12!\), подставим это:

\[ P = \frac{2 \cdot 13 \cdot 12!}{26 \cdot 25 \cdot 12!} \]

Теперь \(12!\) сокращается:

\[ P = \frac{2 \cdot 13}{26 \cdot 25} = \frac{26}{650} = \frac{1}{25} \]

Ответ

Вероятность того, что единиц и Иван окажутся в одной паре, составляет \(\frac{1}{25}\).