Чтобы построить график функции ( y = (x^2 - 9)(x + 2) - x - 2 ), сначала упростим её. Мы начнем с раскрытия скобок и упрощения:
Чтобы построить график функции \( y = (x^2 - 9)(x + 2) - x - 2 \), начнём с её упрощения. Это поможет лучше понять форму функции и её свойства.
Шаг 1: Раскроем скобки
Функция уже содержит произведение, которое мы должны раскрыть. Начнём с первой части:
\[ y = (x^2 - 9)(x + 2) \]
Раскроем скобки:
\[ y = x^2(x + 2) - 9(x + 2) \]
Теперь раскрываем каждое произведение:
\[ y = x^3 + 2x^2 - 9x - 18 \]
Шаг 2: Объединим все части
Теперь вернёмся к полной функции с учетом второй части:
\[ y = x^3 + 2x^2 - 9x - 18 - x - 2 \]
Объединим подобные слагаемые:
\[ y = x^3 + 2x^2 - 10x - 20 \]
Шаг 3: Факторизация (по желанию)
Хотя дальнейшее упрощение не всегда необходимо для построения графика, можно попытаться факторизовать, чтобы найти корни. Однако для начала обычно достаточно просто знать форму функции.
Шаг 4: Определим корни функции
Чтобы найти корни функции \(y = x^3 + 2x^2 - 10x - 20\), мы можем использовать метод подбора или, более эффективно, теорему о корнях.
- Проверка простых корней: Подставим значения \(x = -2, -1, 0, 1, 2\) и т.д., чтобы узнать, является ли какое-либо из них корнем.
Я проверю, например, \(x = -2\):
\[ y = (-2)^3 + 2(-2)^2 - 10(-2) - 20 \] \[ = -8 + 8 + 20 - 20 = 0 \]
Итак, \(x = -2\) — корень функции. Теперь можно провести деление многочлена на \((x + 2)\).
Шаг 5: Деление многочлена
Используем деление на многочлен:
\[ x^3 + 2x^2 - 10x - 20 \div (x + 2) \]
После выполнения деления мы получаем результат:
\[ x^3 + 2x^2 - 10x - 20 = (x + 2)(x^2 - 10) \]
Теперь у нас есть:
\[ y = (x + 2)(x^2 - 10) \]
Шаг 6: Найдем остальные корни
Упростим вторую часть:
\[ x^2 - 10 = 0 \quad \Rightarrow \quad x^2 = 10 \quad \Rightarrow \quad x = \pm \sqrt{10} \]
Шаг 7: Определим важные точки
Теперь мы знаем:
- Корни функции: \(x = -2, \sqrt{10}, -\sqrt{10}\)
- Параметры для построения графика.
Шаг 8: Построение графика
Теперь можно нарисовать график функции, отметив корни и исследуя поведение функции (увеличение и уменьшение). Обратите внимание на знак перед первым слагаемым: поскольку это кубическая функция, график будет занимать все пространство по вертикали (он будет уходить вверх при \(x \to \infty\) и вниз при \(x \to -\infty\)).
Заключение
Мы упростили и разобрали функцию \( y = (x^2 - 9)(x + 2) - x - 2 \) до вида \( y = (x + 2)(x^2 - 10) \) и нашли её корни. Теперь вы можете использовать этот результат для построения графика!
