Чтобы решить заданную задачу, начнем с построения дерева эксперимента, а затем рассчитаем вероятность события А — выпадения пятерки на шестом броске.
Шаг 1: Построение дерева эксперимента
Мы будем представлять каждое бросание игральной кости как ветвление. На каждом уровне дерева будут три типа исходов:
- Пятерка (обозначим как "5").
- Любое другое число (считаем, что это числа 1, 2, 3, 4 или 6, обозначим как "Н").
Т.е. для первого броска у нас будет:
- Если бросок = 5, остановимся.
- Если бросок ≠ 5, продолжаем бросать.
Дерево бросков
- 1-й бросок:
- 5 (остановка)
- Н (продолжение)
Если выпало Н, мы можем повторить процесс.
- 2-й бросок (если был Н):
- 5 (остановка)
- Н (продолжение)
И так далее...
Таким образом, если пятерку мы хотим получить на шестом броске, значит у нас должно быть 5 неудачных бросков (т.е. выпадение Н) перед успешным броском (т.е. выпадением 5).
Шаг 2: Расчет вероятности события А
Вероятность выпадения пятерки на каждом броске равна ( P(5) = \frac{1}{6} ).
Вероятность выпадения любого другого числа равна ( P(N) = \frac{5}{6} ).
Чтобы событие А — "выпала пятерка на шестом броске" — произошло, нам нужно, чтобы:
- Первые пять бросков дали Н.
- На шестом броске выпала 5.
Для этого мы можем записать вероятность события А следующим образом:
[
P(A) = P(N)^5 \cdot P(5)
]
Теперь подставим вероятности:
[
P(A) = \left( \frac{5}{6} \right)^5 \cdot \left( \frac{1}{6} \right)
]
Шаг 3: Вычисления
Сначала вычислим ( \left( \frac{5}{6} \right)^5 ):
[
\left( \frac{5}{6} \right)^5 = \frac{3125}{7776}
]
Теперь подставим в формулу для P(A):
[
P(A) = \frac{3125}{7776} \cdot \frac{1}{6} = \frac{3125}{46656}
]
Ответ
Таким образом, вероятность того, что пятерка выпадет на шестом броске, равна
[
P(A) = \frac{3125}{46656} \approx 0.0662 \text{ (приблизительно 6.62%)}
]
Это и есть ответ на поставленную задачу.
