Диагонали прямоугольника
M
N
K
L
MNKL пересекаются в точке
O
O. Точки
Q
Q,
S
S,
T
T,
R
R — середины отрезков
M
O
MO,
N
O
NO,
K
O
KO,
L
O
LO соответственно.
Какие равенства являются верными?
Выбери все верные варианты ответа.
O
T
→
=
−
1
2
K
O
→
OT
=−
2
1
KO
Q
O
→
=
−
1
4
K
M
→
QO
=−
4
1
KM
O
L
→
=
1
2
N
L
→
OL
=
2
1
NL
N
S
→
=
1
4
M
K
→
NS
=
4
1
MK
S
R
→
=
−
2
3
L
S
→
SR
=−
3
2
LS
Чтобы разобраться с задачей, давайте внимательно проанализируем, что нам дано и что требуется найти.
### Дано:
Прямоугольник с вершинами \( M \), \( N \), \( K \), \( L \), где диагонали пересекаются в точке \( O \). Также мы знаем, что точки \( Q \), \( S \), \( T \), \( R \) являются серединами отрезков, образованных точками \( M, O \), \( N, O \), \( K, O \), и \( L, O \) соответственно.
#### Середины отрезков:
- \( Q \) — середина отрезка \( MO \)
- \( S \) — середина отрезка \( NO \)
- \( T \) — середина отрезка \( KO \)
- \( R \) — середина отрезка \( LO \)
### Цель:
Определить, какие из предложенных равенств являются верными.
### Объяснение:
1. **Расположение точек**:
Поскольку точки \( Q \), \( S \), \( T \) и \( R \) являются серединами соответсвующих отрезков, это может быть выражено как:
- \( QO = \frac{1}{2} MO \)
- \( SO = \frac{1}{2} NO \)
- \( TO = \frac{1}{2} KO \)
- \( RO = \frac{1}{2} LO \)
2. **Сравнение отрезков**:
Если мы обозначим длину отрезков следующими выражениями:
- \( KO = x \)
- \( MO = y \)
- \( NO = z \)
- \( LO = w \)
На основании свойств прямоугольника, где диагонали пересекаются в середине, мы можем сказать, что:
- \( MO = KO \) (так как прямоугольник симметричен)
- \( NO = LO \)
3. **Рассмотрим утверждения**:
Теперь давайте проверим каждое из предложенных утверждений.
#### Утверждения:
1. \( \overrightarrow{OT} = -\frac{1}{2} KO \)
- Это верно, так как \( T \) — середина \( KO \), следовательно, \( \overrightarrow{OT} = \frac{1}{2} KO \), и если вычтем \( KO \), получим \( -\frac{1}{2} KO \).
2. \( \overrightarrow{QO} = -\frac{1}{4} KM \)
- Это неверно, поскольку \( \overrightarrow{QO} = \frac{1}{2} MO = \frac{1}{2} KM \) (при условии, что \( KM = MO \)).
3. \( \overrightarrow{OL} = \frac{1}{2} NL \)
- Это неверно, потому что \( OL \) сравнивается с \( NO \) и не с \( NL \).
4. \( \overrightarrow{NS} = \frac{1}{4} MK \)
- Это неверно, так как \( \overrightarrow{NS} = \frac{1}{2} NO \), а не соотношение с \( MK \).
5. \( \overrightarrow{SR} = -\frac{3}{2} LS \)
- Это неверно, так как \( \overrightarrow{SR} \) будет в пределах \( RO \), а не \( LS \).
### Результат:
Верное утверждение:
- Uтверждение 1: \( \overrightarrow{OT} = -\frac{1}{2} KO \)
Остальные утверждения неверны. Таким образом, правильный ответ только один — первое утверждение.
