2y-2/y+3 + y+3/y-3 =5

Решим уравнение \( \frac{2y - 2}{y + 3} + \frac{y + 3}{y - 3} = 5 \) по шагам.

Шаг 1: Приведение к общему знаменателю

Для начала найдем общий знаменатель для дробей. Общим знаменателем для \( y + 3 \) и \( y - 3 \) будет \( (y + 3)(y - 3) \).

Шаг 2: Приведение дробей

Теперь представим каждую дробь с новым общим знаменателем:

\[ \frac{2y - 2}{y + 3} = \frac{(2y - 2)(y - 3)}{(y + 3)(y - 3)} \] \[ \frac{y + 3}{y - 3} = \frac{(y + 3)(y + 3)}{(y + 3)(y - 3)} \]

Шаг 3: Объединение дробей

Теперь можем записать уравнение с объединенной дробью:

\[ \frac{(2y - 2)(y - 3) + (y + 3)(y + 3)}{(y + 3)(y - 3)} = 5 \]

Шаг 4: Упрощение числителя

Теперь упрощаем числитель:

• Первый член:

\[ (2y - 2)(y - 3) = 2y^2 - 6y - 2y + 6 = 2y^2 - 8y + 6 \]

• Второй член:

\[ (y + 3)(y + 3) = y^2 + 6y + 9 \]

Теперь объединим эти два результата:

\[ 2y^2 - 8y + 6 + y^2 + 6y + 9 = 3y^2 - 2y + 15 \]

Шаг 5: Подстановка обратно в уравнение

Теперь подставляем это в уравнение:

\[ \frac{3y^2 - 2y + 15}{(y + 3)(y - 3)} = 5 \]

Шаг 6: Умножение обеих сторон на знаменатель

Умножим обе стороны на \( (y + 3)(y - 3) \):

\[ 3y^2 - 2y + 15 = 5(y + 3)(y - 3) \]

Шаг 7: Раскрытие правой части

Теперь раскрываем правую часть:

\[ 5(y + 3)(y - 3) = 5(y^2 - 9) = 5y^2 - 45 \]

Шаг 8: Перенос всех членов в одну сторону

Теперь решим полученное уравнение:

\[ 3y^2 - 2y + 15 - 5y^2 + 45 = 0 \] \[ -2y^2 - 2y + 60 = 0 \] Умножим уравнение на -1 для упрощения:

\[ 2y^2 + 2y - 60 = 0 \]

Шаг 9: Разделим на 2

\[ y^2 + y - 30 = 0 \]

Шаг 10: Применение формулы решения квадратного уравнения

Теперь решим это уравнение используя формулу:

\[ y = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \] где \( a = 1 \), \( b = 1 \), \( c = -30 \):

\[ y = \frac{-1 \pm \sqrt{1^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-30)}}{2 \cdot 1} \] \[ y = \frac{-1 \pm \sqrt{1 + 120}}{2} \] \[ y = \frac{-1 \pm \sqrt{121}}{2} \] \[ y = \frac{-1 \pm 11}{2} \]

Шаг 11: Нахождение корней

Теперь найдем два возможных значения для \( y \):

1. \( y = \frac{10}{2} = 5 \)

2. \( y = \frac{-12}{2} = -6 \)

Шаг 12: Проверка

Проверим, подходят ли найденные корни для начального уравнения. Важно убедиться, что обе дроби не имеют нулевых знаменателей.

• Для \( y = 5 \):

\[ y + 3 = 8 \quad (\text{не ноль}), \quad y - 3 = 2 \quad (\text{не ноль}) \]

• Для \( y = -6 \):

\[ y + 3 = -3 \quad (\text{не ноль}), \quad y - 3 = -9 \quad (\text{не ноль}) \]

Таким образом, оба значения допустимы.

Ответ

Корни уравнения:

\[ y = 5 \quad \text{и} \quad y = -6 \]