Для решения задачи о прямой призме, основанием которой является прямоугольный треугольник, нам нужно найти площадь боковой и полной поверхности призмы. Давайте разберем эту задачу шаг за шагом.
Шаг 1: Найти второй катет прямоугольного треугольника
Дано:
- Один катет ( a = 8 ) см
- Гипотенуза ( c = 17 ) см
Для нахождения второго катета ( b ) мы воспользуемся теоремой Пифагора:
[
c^2 = a^2 + b^2
]
Подставим известные значения:
[
17^2 = 8^2 + b^2
]
[
289 = 64 + b^2
]
[
b^2 = 289 - 64 = 225
]
[
b = \sqrt{225} = 15 \text{ см}
]
Теперь известны оба катета треугольника:
- ( a = 8 ) см
- ( b = 15 ) см
Шаг 2: Найти площадь основания призмы
Площадь основания (S) будет площадью прямоугольного треугольника, которая определяется по формуле:
[
S = \frac{1}{2} \cdot a \cdot b
]
Подставим значения:
[
S = \frac{1}{2} \cdot 8 \cdot 15 = \frac{1}{2} \cdot 120 = 60 \text{ см}^2
]
Шаг 3: Найти площадь боковой поверхности призмы
Площадь боковой поверхности (P_b) прямой призмы рассчитывается по формуле:
[
P_b = периметр , основания \cdot высота
]
Сначала вычислим периметр ( P ) основания. Периметр прямоугольного треугольника:
[
P = a + b + c
]
где ( c ) — гипотенуза, которую мы знаем (17 см):
[
P = 8 + 15 + 17 = 40 \text{ см}
]
Высота призмы равна длине бокового ребра, ( h = 5 ) см. Теперь подставим значения в формулу для площади боковой поверхности:
[
P_b = P \cdot h = 40 \cdot 5 = 200 \text{ см}^2
]
Шаг 4: Найти полную поверхность призмы
Полная поверхность (P_total) призмы состоит из площади боковой поверхности и двух площадей основания:
[
P_{total} = P_b + 2S = 200 + 2 \cdot 60 = 200 + 120 = 320 \text{ см}^2
]
Ответ:
- Площадь боковой поверхности призмы: ( 200 \text{ см}^2 )
- Полная поверхность призмы: ( 320 \text{ см}^2 )
Таким образом, мы нашли площади боковой и полной поверхности осевой прямой призмы, основанием которой является прямоугольный треугольник.
