В равнобедренном треугольнике АВС основание АС равно 16 см и tgA=5/4. Найдите длину медианы АD

Чтобы найти длину медианы \( AD \) в равнобедренном треугольнике \( ABC \), где \( AC = 16 \, \text{см} \) и \( \tan A = \frac{5}{4} \), будем решать задачу пошагово.

Шаг 1: Определим параметры треугольника

1. Дано:

   • Основание \( AC = 16 \, \text{см} \)
   • \( \tan A = \frac{5}{4} \)

2. В равнобедренном треугольнике \( ABC \) равны боковые стороны \( AB \) и \( BC \).

Шаг 2: Найдем длину стороны \( AB \)

Чтобы найти длину боковой стороны \( AB \), вспомним, что тангенс угла в треугольнике — это отношение противолежащего катета к прилежащему катету.

• Пусть \( AD \) — это медиана из вершины \( A \) на основание \( BC \). Поскольку \( D \) — это середина основания \( BC \), то \( BD = DC = \frac{AC}{2} = \frac{16}{2} = 8 \, \text{см} \).

Запишем уравнение для медианы:

1. В треугольнике \( ABD \) имеем:

   • Противолежащий катет \( BD = 8 \, \text{см} \)
   • Прилежащий катет \( AD \) (медиана, которую нужно найти)
   • Угол \( A \) такой, что \( \tan A = \frac{BD}{AD} = \frac{8}{AD} \).

2. Из этого уравнения выразим \( AD \): \[ \tan A = \frac{8}{AD} \implies AD = \frac{8}{\tan A} = \frac{8}{\frac{5}{4}} = 8 \cdot \frac{4}{5} = \frac{32}{5} \, \text{см} = 6.4 \, \text{см}. \]

Шаг 3: Подсчитаем длину медианы

Таким образом, длина медианы \( AD \) равна \( 6.4 \, \text{см} \).

Ответ

Длина медианы \( AD \) в равнобедренном треугольнике \( ABC \) равна \( 6.4 \, \text{см} \).