4/x+3 - 5/3-x = 1/x-3)-1

Давайте решим уравнение:

\[ \frac{4}{x + 3} - \frac{5}{3 - x} = \frac{1}{x - 3} - 1 \]

Шаг 1: Привести уравнение к общему знаменателю (если это возможно)

Для начала, чтобы облегчить работу с дробями, давайте заменим \(3 - x\) на \(- (x - 3)\). Это упростит нашу задачу.

Таким образом, уравнение становится:

\[ \frac{4}{x + 3} + \frac{5}{x - 3} = \frac{1}{x - 3} - 1 \]

Шаг 2: Переписываем уравнение

Теперь приведем все к общему знаменателю. Общий знаменатель для дробей в данном уравнении — \( (x + 3)(x - 3) \).

Записываем уравнение с учетом этого:

\[ \frac{4(x - 3) + 5(x + 3)}{(x + 3)(x - 3)} = \frac{1}{x - 3} - 1 \]

Шаг 3: Объединим дроби

Теперь давайте объединим дроби слева:

\[ 4(x - 3) + 5(x + 3) = 4x - 12 + 5x + 15 = 9x + 3 \]

Таким образом, у нас теперь:

\[ \frac{9x + 3}{(x + 3)(x - 3)} = \frac{1 - (x - 3)}{x - 3} \]

Шаг 4: Упростим правую часть

Правая часть уравнения:

\[ 1 - (x - 3) = 1 - x + 3 = 4 - x \]

Поэтому уравнение становится:

\[ \frac{9x + 3}{(x + 3)(x - 3)} = \frac{4 - x}{x - 3} \]

Шаг 5: Удалим дроби

Умножим обе части уравнения на \((x + 3)(x - 3)\) и получим:

\[ 9x + 3 = (4 - x)(x + 3) \]

Шаг 6: Раскроем скобки

Теперь раскроем правую часть:

\[ 9x + 3 = 4x + 12 - x^2 - 3x \]

Шаг 7: Переместим все с одной стороны

Приведем все к одной стороне:

\[ 9x + 3 = 4x + 12 - x^2 - 3x \]

Перемещаем все влево:

\[ 9x + 3 - 4x - 12 + 3x + x^2 = 0 \]

Упрощаем:

\[ x^2 + 8x - 9 = 0 \]

Шаг 8: Решим квадратное уравнение

Используем дискриминант:

\[ D = b^2 - 4ac = 8^2 - 4(1)(-9) = 64 + 36 = 100 \]

Корни уравнения находятся по формуле:

\[ x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-8 \pm 10}{2} \]

Таким образом, находим два корня:

1. \(x = \frac{2}{2} = 1\)
2. \(x = \frac{-18}{2} = -9\)

Шаг 9: Проверим корни в исходном уравнении

Необходимо убедиться, что корни не ведут к делению на ноль в исходном уравнении:

• \(x + 3 \neq 0\) (то есть \(x \neq -3\))
• \(3 - x \neq 0\) (то есть \(x \neq 3\))
• \(x - 3 \neq 0\) (что еще раз означает \(x \neq 3\))

Корни \(x = 1\) и \(x = -9\) не приводят к делению на ноль и являются решениями.

Ответ

Таким образом, решения уравнения:

\[ x = 1 \quad \text{и} \quad x = -9 \]