4/x+3 - 5/3-x = 1/x-3)-1

Давайте решим уравнение: \[ \frac{4}{x + 3} - \frac{5}{3 - x} = \frac{1}{x - 3} - 1 \] ### Шаг 1: Привести уравнение к общему знаменателю (если это возможно) Для начала, чтобы облегчить работу с дробями, давайте заменим \(3 - x\) на \(- (x - 3)\). Это упростит нашу задачу. Таким образом, уравнение становится: \[ \frac{4}{x + 3} + \frac{5}{x - 3} = \frac{1}{x - 3} - 1 \] ### Шаг 2: Переписываем уравнение Теперь приведем все к общему знаменателю. Общий знаменатель для дробей в данном уравнении — \( (x + 3)(x - 3) \). Записываем уравнение с учетом этого: \[ \frac{4(x - 3) + 5(x + 3)}{(x + 3)(x - 3)} = \frac{1}{x - 3} - 1 \] ### Шаг 3: Объединим дроби Теперь давайте объединим дроби слева: \[ 4(x - 3) + 5(x + 3) = 4x - 12 + 5x + 15 = 9x + 3 \] Таким образом, у нас теперь: \[ \frac{9x + 3}{(x + 3)(x - 3)} = \frac{1 - (x - 3)}{x - 3} \] ### Шаг 4: Упростим правую часть Правая часть уравнения: \[ 1 - (x - 3) = 1 - x + 3 = 4 - x \] Поэтому уравнение становится: \[ \frac{9x + 3}{(x + 3)(x - 3)} = \frac{4 - x}{x - 3} \] ### Шаг 5: Удалим дроби Умножим обе части уравнения на \((x + 3)(x - 3)\) и получим: \[ 9x + 3 = (4 - x)(x + 3) \] ### Шаг 6: Раскроем скобки Теперь раскроем правую часть: \[ 9x + 3 = 4x + 12 - x^2 - 3x \] ### Шаг 7: Переместим все с одной стороны Приведем все к одной стороне: \[ 9x + 3 = 4x + 12 - x^2 - 3x \] Перемещаем все влево: \[ 9x + 3 - 4x - 12 + 3x + x^2 = 0 \] Упрощаем: \[ x^2 + 8x - 9 = 0 \] ### Шаг 8: Решим квадратное уравнение Используем дискриминант: \[ D = b^2 - 4ac = 8^2 - 4(1)(-9) = 64 + 36 = 100 \] Корни уравнения находятся по формуле: \[ x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-8 \pm 10}{2} \] Таким образом, находим два корня: 1. \(x = \frac{2}{2} = 1\) 2. \(x = \frac{-18}{2} = -9\) ### Шаг 9: Проверим корни в исходном уравнении Необходимо убедиться, что корни не ведут к делению на ноль в исходном уравнении: - \(x + 3 \neq 0\) (то есть \(x \neq -3\)) - \(3 - x \neq 0\) (то есть \(x \neq 3\)) - \(x - 3 \neq 0\) (что еще раз означает \(x \neq 3\)) Корни \(x = 1\) и \(x = -9\) не приводят к делению на ноль и являются решениями. ### Ответ Таким образом, решения уравнения: \[ x = 1 \quad \text{и} \quad x = -9 \]