Давайте решим задачу, в которой нам нужно найти два числа, сумма которых равна 12, а произведение равно 35.
Обозначим искомые числа как ( x ) и ( y ). Мы знаем две вещи:
- ( x + y = 12 ) (сумма)
- ( x \cdot y = 35 ) (произведение)
Шаг 1: Выразим одно число через другое.
Из первого уравнения мы можем выразить ( y ):
[
y = 12 - x
]
Шаг 2: Подставим выражение для ( y ) во второе уравнение.
Теперь подставим ( y ) во второе уравнение:
[
x \cdot (12 - x) = 35
]
Шаг 3: Раскроем скобки и преобразуем уравнение.
Раскроем скобки:
[
12x - x^2 = 35
]
Перепишем уравнение в стандартной форме:
[
-x^2 + 12x - 35 = 0
]
Умножим на -1 для упрощения:
[
x^2 - 12x + 35 = 0
]
Шаг 4: Решим квадратное уравнение.
Теперь мы можем решить это квадратное уравнение с помощью дискриминанта. Сначала найдем дискриминант ((D)):
[
D = b^2 - 4ac
]
где (a = 1), (b = -12), (c = 35):
[
D = (-12)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 35 = 144 - 140 = 4
]
Шаг 5: Найдем корни уравнения.
Теперь используем формулу для нахождения корней:
[
x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}
]
Подставим значения (b), (D), и (a):
[
x_{1,2} = \frac{12 \pm \sqrt{4}}{2 \cdot 1} = \frac{12 \pm 2}{2}
]
Теперь найдем два корня:
- ( x_1 = \frac{12 + 2}{2} = \frac{14}{2} = 7 )
- ( x_2 = \frac{12 - 2}{2} = \frac{10}{2} = 5 )
Таким образом, мы нашли два числа: ( x = 7 ) и ( y = 5 ).
Шаг 6: Проверим ответ.
Проверим, удовлетворяют ли они условиям задачи:
- Сумма: ( 7 + 5 = 12 ) (верно)
- Произведение: ( 7 \cdot 5 = 35 ) (верно)
Таким образом, искомые числа — это ( 7 ) и ( 5 ).
