Чтобы найти сумму первых девяти членов геометрической прогрессии, нужно воспользоваться формулой суммы членов геометрической прогрессии.
Геометрическая прогрессия имеет первый член ( a_1 ) и общий коэффициент ( q ). Сумма первых ( n ) членов геометрической прогрессии рассчитывается по следующей формуле:
[
S_n = a_1 \frac{1 - q^n}{1 - q}, \quad \text{если } q \neq 1
]
Где:
- ( S_n ) — сумма первых ( n ) членов,
- ( a_1 ) — первый член,
- ( q ) — общий коэффициент,
- ( n ) — количество членов.
В данной задаче:
- ( a_1 = 4 ) (первый член),
- ( q = -3 ) (общий коэффициент),
- ( n = 9 ) (количество членов).
Теперь подставим значения в формулу:
[
S_9 = 4 \frac{1 - (-3)^9}{1 - (-3)}
]
Сначала вычислим ( (-3)^9 ):
[
(-3)^9 = -19683
]
Теперь подставим это значение в формулу:
[
S_9 = 4 \frac{1 - (-19683)}{1 + 3}
]
Это упрощается до:
[
S_9 = 4 \frac{1 + 19683}{4}
]
Итак, можно сократить ( 4 ) в числителе и знаменателе:
[
S_9 = 1 + 19683 = 19684
]
Таким образом, сумма первых девяти членов геометрической прогрессии равна ( S_9 = 19684 ).
Ответ: 19684
