Для решения задачи определим необходимые величины и воспользуемся формулами, связанными с расстоянием, скоростью и временем.
Данные задачи:
- Расстояние, пройденное лодкой: ( S = 30 \text{ км} ) в каждую сторону.
- Скорость течения реки: ( v_{теч} = 3 \text{ км/ч} ).
- Общее время в пути: ( 5 \text{ ч} 20 \text{ мин} = 5 + \frac{20}{60} = \frac{16}{3} \text{ ч} ).
Обозначим:
- Скорость лодки в стоячей воде: ( v_{лодки} ) (это то, что мы ищем).
- Время в пути вниз по течению: ( t_1 ).
- Время в пути вверх по течению: ( t_2 ).
Подсчет времени:
Вниз по течению: Скорость лодки будет равна ( v_{лодки} + v_{теч} ).
[
v_{добав} = v_{лодки} + 3
]
Поэтому время, затраченное на путь вниз:
[
t_1 = \frac{30}{v_{лодки} + 3}
]
Вверх по течению: Скорость лодки будет равна ( v_{лодки} - v_{теч} ).
[
v_{уменьш} = v_{лодки} - 3
]
Поэтому время, затраченное на путь вверх:
[
t_2 = \frac{30}{v_{лодки} - 3}
]
Суммируем время:
Полное время в пути:
[
t_1 + t_2 = \frac{30}{v_{лодки} + 3} + \frac{30}{v_{лодки} - 3} = \frac{16}{3}
]
Решаем уравнение:
Упростим уравнение:
[
\frac{30 (v_{лодки} - 3) + 30 (v_{лодки} + 3)}{(v_{лодки} + 3)(v_{лодки} - 3)} = \frac{16}{3}
]
Это приведет к:
[
\frac{30v_{лодки} - 90 + 30v_{лодки} + 90}{(v_{лодки} + 3)(v_{лодки} - 3)} = \frac{16}{3}
]
[
\frac{60v_{лодки}}{(v_{лодки} + 3)(v_{лодки} - 3)} = \frac{16}{3}
]
Теперь перемножим крест-накрест:
[
60v_{лодки} \cdot 3 = 16 (v_{лодки}^2 - 9)
]
[
180v_{лодки} = 16v_{лодки}^2 - 144
]
Переносим все в одну сторону уравнения:
[
16v_{лодки}^2 - 180v_{лодки} - 144 = 0
]
Применяем формулу квадратного уравнения:
Формула (-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}):
Здесь ( a = 16 ), ( b = -180 ), ( c = -144 ).
Вычисляем дискриминант:
[
D = b^2 - 4ac = (-180)^2 - 4 \cdot 16 \cdot (-144)
]
[
D = 32400 + 9216 = 41616
]
Находим корни:
[
v_{лодки} = \frac{180 \pm \sqrt{41616}}{32}
]
[
\sqrt{41616} = 204
]
Теперь подставляем значение:
[
v_{лодки} = \frac{180 \pm 204}{32}
]
Решаем для двух случаев:
- ( v_{лодки} = \frac{384}{32} = 12 \text{ км/ч} )
- ( v_{лодки} = \frac{-24}{32} ) (отрицательное значение, не может быть)
Ответ:
Скорость лодки в стоячей воде равна ( 12 \text{ км/ч} ).
Таким образом, мы нашли нужную скорость с помощью обоснованных шагов и расчетов.
