Моторная лодка прошла 30 км по течению реки и возвратилась обратно, затратив на весь путь 5 ч 20 мин. Найдите скорость лодки в стоячей воде, если известно, что скорость течения…

Для решения задачи определим необходимые величины и воспользуемся формулами, связанными с расстоянием, скоростью и временем.

Данные задачи:

1. Расстояние, пройденное лодкой: \( S = 30 \text{ км} \) в каждую сторону.
2. Скорость течения реки: \( v_{теч} = 3 \text{ км/ч} \).
3. Общее время в пути: \( 5 \text{ ч} 20 \text{ мин} = 5 + \frac{20}{60} = \frac{16}{3} \text{ ч} \).

Обозначим:

• Скорость лодки в стоячей воде: \( v_{лодки} \) (это то, что мы ищем).
• Время в пути вниз по течению: \( t_1 \).
• Время в пути вверх по течению: \( t_2 \).

Подсчет времени:

1. Вниз по течению: Скорость лодки будет равна \( v_{лодки} + v_{теч} \). \[ v_{добав} = v_{лодки} + 3 \] Поэтому время, затраченное на путь вниз: \[ t_1 = \frac{30}{v_{лодки} + 3} \]

2. Вверх по течению: Скорость лодки будет равна \( v_{лодки} - v_{теч} \). \[ v_{уменьш} = v_{лодки} - 3 \] Поэтому время, затраченное на путь вверх: \[ t_2 = \frac{30}{v_{лодки} - 3} \]

Суммируем время:

Полное время в пути: \[ t_1 + t_2 = \frac{30}{v_{лодки} + 3} + \frac{30}{v_{лодки} - 3} = \frac{16}{3} \]

Решаем уравнение:

Упростим уравнение: \[ \frac{30 (v_{лодки} - 3) + 30 (v_{лодки} + 3)}{(v_{лодки} + 3)(v_{лодки} - 3)} = \frac{16}{3} \] Это приведет к: \[ \frac{30v_{лодки} - 90 + 30v_{лодки} + 90}{(v_{лодки} + 3)(v_{лодки} - 3)} = \frac{16}{3} \] \[ \frac{60v_{лодки}}{(v_{лодки} + 3)(v_{лодки} - 3)} = \frac{16}{3} \]

Теперь перемножим крест-накрест: \[ 60v_{лодки} \cdot 3 = 16 (v_{лодки}^2 - 9) \] \[ 180v_{лодки} = 16v_{лодки}^2 - 144 \] Переносим все в одну сторону уравнения: \[ 16v_{лодки}^2 - 180v_{лодки} - 144 = 0 \]

Применяем формулу квадратного уравнения:

Формула \(-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}\): Здесь \( a = 16 \), \( b = -180 \), \( c = -144 \).

Вычисляем дискриминант: \[ D = b^2 - 4ac = (-180)^2 - 4 \cdot 16 \cdot (-144) \] \[ D = 32400 + 9216 = 41616 \]

Находим корни: \[ v_{лодки} = \frac{180 \pm \sqrt{41616}}{32} \] \[ \sqrt{41616} = 204 \] Теперь подставляем значение: \[ v_{лодки} = \frac{180 \pm 204}{32} \]

Решаем для двух случаев:

1. \( v_{лодки} = \frac{384}{32} = 12 \text{ км/ч} \)
2. \( v_{лодки} = \frac{-24}{32} \) (отрицательное значение, не может быть)

Ответ:

Скорость лодки в стоячей воде равна \( 12 \text{ км/ч} \).

Таким образом, мы нашли нужную скорость с помощью обоснованных шагов и расчетов.