Сфера, радиусом 15см, пересечена плоскостью. проходящей на расстоянии 9см от центра сферы. Найти длину линии пересечения сферы и плоскости.
Чтобы найти длину линии пересечения сферы и плоскости, нам нужно понимать, как схема выглядит. У нас есть сфера с радиусом \( r = 15 \) см и плоскость, проходящая на расстоянии \( d = 9 \) см от центра этой сферы.
Шаг 1: Рассмотрим геометрическую ситуацию.
- Определение параметров:
- Центр сферы обозначим точкой \( O \).
- Плоскость пересекает сферы параллельно некоторой плоскости, и расстояние от центра сферы до плоскости равно \( d = 9 \) см.
- Радиус сферы \( r = 15 \) см.
Шаг 2: Используем теорему Пифагора.
Чтобы найти радиус окружности пересечения, нужно сначала понять, какую высоту от точки \( O \) до плоскости мы имеем. Радиус окружности пересечения будет вычисляться по формуле:
\[ R^2 + d^2 = r^2 \]
где:
- \( R \) — радиус окружности пересечения,
- \( d \) — расстояние от центра сферы до плоскости (\( 9 \) см),
- \( r \) — радиус сферы (\( 15 \) см).
Шаг 3: Подставим значения и решим уравнение.
Подставляем \( r = 15 \) см и \( d = 9 \) см в формулу:
\[ R^2 + 9^2 = 15^2 \]
Шаг 4: Вычислим.
Теперь найдем квадраты значений:
- \( 9^2 = 81 \)
- \( 15^2 = 225 \)
Теперь подставляем:
\[ R^2 + 81 = 225 \]
Шаг 5: Найдем \( R^2 \).
Вычтем 81 из обеих сторон уравнения:
\[ R^2 = 225 - 81 \]
Посчитаем:
\[ R^2 = 144 \]
Шаг 6: Найдем \( R \).
Теперь найдём \( R \):
\[ R = \sqrt{144} = 12 \, \text{см} \]
Шаг 7: Заключение
Длина линии пересечения сферы и плоскости — это радиус окружности пересечения, который равен \( 12 \) см.
Таким образом, длина линии пересечения сферы радиусом 15 см и плоскости, находящейся на расстоянии 9 см от центра, составляет 12 см.
