Для решения этой задачи необходимо рассмотреть игру Паши в двух партиях и определить распределение очков, которые он может заработать. Давайте подробнее рассмотрим и выполним необходимые вычисления.
Шаг 1: Составим вероятностное распределение.
Паша может заработать следующие очки в зависимости от того, сколько партий он выиграл:
0 очков: Паша проигрывает обе партии. Вероятность этого события:
[
P(0) = (0,3)^2 = 0,09
]
1 очко: Паша выигрывает одну партию и проигрывает другую. Это может произойти двумя способами (выиграть первую и проиграть вторую или проиграть первую и выиграть вторую):
[
P(1) = 2 \cdot (0,7) \cdot (0,3) = 2 \cdot 0,21 = 0,42
]
2 очка: Паша выигрывает обе партии. Вероятность этого события:
[
P(2) = (0,7)^2 = 0,49
]
Теперь у нас есть полное распределение:
[
\begin{align*}
X & : \text{количество очков}\
P(X = 0) & = 0,09\
P(X = 1) & = 0,42\
P(X = 2) & = 0,49
\end{align*}
]
Шаг 2: Вычислим математическое ожидание.
Математическое ожидание (( E(X) )) рассчитывается по формуле:
[
E(X) = \sum (X \cdot P(X))
]
Подставим наши значения:
[
E(X) = 0 \cdot 0,09 + 1 \cdot 0,42 + 2 \cdot 0,49
]
[
E(X) = 0 + 0,42 + 0,98 = 1,4
]
Шаг 3: Вычислим дисперсию.
Дисперсия (( D(X) )) находится по формуле:
[
D(X) = E(X^2) - (E(X))^2
]
Сначала найдем ( E(X^2) ):
[
E(X^2) = \sum (X^2 \cdot P(X))
]
Подставим значения:
[
E(X^2) = 0^2 \cdot 0,09 + 1^2 \cdot 0,42 + 2^2 \cdot 0,49
]
[
E(X^2) = 0 + 0,42 + 4 \cdot 0,49 = 0,42 + 1,96 = 2,38
]
Теперь подставим в формулу для дисперсии:
[
D(X) = E(X^2) - (E(X))^2 = 2,38 - (1,4)^2
]
[
D(X) = 2,38 - 1,96 = 0,42
]
Шаг 4: Вычислим среднее квадратичное отклонение.
Среднее квадратичное отклонение (( \sigma )) является корнем дисперсии:
[
\sigma = \sqrt{D(X)} = \sqrt{0,42} \approx 0,65
]
Итак, результаты:
- Математическое ожидание ( E(X) = 1,4 )
- Дисперсия ( D(X) = 0,42 )
- Среднее квадратичное отклонение ( \sigma \approx 0,65 )
Таким образом, мы построили ряд распределения, вычислили математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратичное отклонение для очков, которые может набрать Паша в двух партиях.
