Если игрок выиграет партию, он зарабатывает 1 балл, если проигрывает - баллов. Паша выигрывает с вероятностью 0,7. Постройте ряд распределения и вычислите математическое ожидание,…

Для решения этой задачи необходимо рассмотреть игру Паши в двух партиях и определить распределение очков, которые он может заработать. Давайте подробнее рассмотрим и выполним необходимые вычисления.

Шаг 1: Составим вероятностное распределение.

Паша может заработать следующие очки в зависимости от того, сколько партий он выиграл:

• 0 очков: Паша проигрывает обе партии. Вероятность этого события: \[ P(0) = (0,3)^2 = 0,09 \]

• 1 очко: Паша выигрывает одну партию и проигрывает другую. Это может произойти двумя способами (выиграть первую и проиграть вторую или проиграть первую и выиграть вторую): \[ P(1) = 2 \cdot (0,7) \cdot (0,3) = 2 \cdot 0,21 = 0,42 \]

• 2 очка: Паша выигрывает обе партии. Вероятность этого события: \[ P(2) = (0,7)^2 = 0,49 \]

Теперь у нас есть полное распределение:

\[ \begin{align*} X & : \text{количество очков}\\ P(X = 0) & = 0,09\\ P(X = 1) & = 0,42\\ P(X = 2) & = 0,49 \end{align*} \]

Шаг 2: Вычислим математическое ожидание.

Математическое ожидание (\( E(X) \)) рассчитывается по формуле: \[ E(X) = \sum (X \cdot P(X)) \] Подставим наши значения: \[ E(X) = 0 \cdot 0,09 + 1 \cdot 0,42 + 2 \cdot 0,49 \] \[ E(X) = 0 + 0,42 + 0,98 = 1,4 \]

Шаг 3: Вычислим дисперсию.

Дисперсия (\( D(X) \)) находится по формуле: \[ D(X) = E(X^2) - (E(X))^2 \] Сначала найдем \( E(X^2) \): \[ E(X^2) = \sum (X^2 \cdot P(X)) \] Подставим значения: \[ E(X^2) = 0^2 \cdot 0,09 + 1^2 \cdot 0,42 + 2^2 \cdot 0,49 \] \[ E(X^2) = 0 + 0,42 + 4 \cdot 0,49 = 0,42 + 1,96 = 2,38 \] Теперь подставим в формулу для дисперсии: \[ D(X) = E(X^2) - (E(X))^2 = 2,38 - (1,4)^2 \] \[ D(X) = 2,38 - 1,96 = 0,42 \]

Шаг 4: Вычислим среднее квадратичное отклонение.

Среднее квадратичное отклонение (\( \sigma \)) является корнем дисперсии: \[ \sigma = \sqrt{D(X)} = \sqrt{0,42} \approx 0,65 \]

Итак, результаты:

• Математическое ожидание \( E(X) = 1,4 \)
• Дисперсия \( D(X) = 0,42 \)
• Среднее квадратичное отклонение \( \sigma \approx 0,65 \)

Таким образом, мы построили ряд распределения, вычислили математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратичное отклонение для очков, которые может набрать Паша в двух партиях.