Чтобы решить эту задачу, давайте поэтапно разберем, как построить ряд распределения, а также рассчитать математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратичное отклонение количества баллов, которые может заработать Паша в двух партиях.
Шаг 1: Определение события
Паша может выиграть (заработать 1 балл) или проиграть (заработать 0 баллов). Выигрыш происходит с вероятностью 0,7. Следовательно, проигрыш происходит с вероятностью (1 - 0,7 = 0,3).
Шаг 2: Результаты в двух партиях
Когда Паша играет две партии, возможные результаты и их вероятности:
Две победы (2 балла):
- Вероятность: (P(2) = 0,7 \times 0,7 = 0,49)
Одна победа, одна проигрыш (1 балл):
- Возможные комбинации: выигрывает первую и проигрывает вторую, или наоборот.
- Вероятность:
[
P(1) = (0,7 \times 0,3) + (0,3 \times 0,7) = 0,21 + 0,21 = 0,42
]
Две проигрыша (0 баллов):
- Вероятность: (P(0) = 0,3 \times 0,3 = 0,09)
Шаг 3: Ряд распределения
Теперь у нас есть следующий ряд распределения:
[
\begin{array}{|c|c|}
\hline
\text{Количество баллов (X)} & \text{Вероятность (P(X))} \
\hline
0 & 0,09 \
1 & 0,42 \
2 & 0,49 \
\hline
\end{array}
]
Шаг 4: Математическое ожидание (E(X))
Математическое ожидание рассчитывается по формуле:
[
E(X) = \sum (X_i \cdot P(X_i))
]
Где (X_i) — это количество очков, а (P(X_i)) — соответствующая вероятность.
Подставим значения:
[
E(X) = (0 \cdot 0,09) + (1 \cdot 0,42) + (2 \cdot 0,49)
= 0 + 0,42 + 0,98 = 1,4
]
Шаг 5: Дисперсия (D(X))
Дисперсия рассчитывается по формуле:
[
D(X) = E(X^2) - (E(X))^2
]
Сначала найдем (E(X^2)):
[
E(X^2) = \sum (X_i^2 \cdot P(X_i))
]
Подставим значения:
[
E(X^2) = (0^2 \cdot 0,09) + (1^2 \cdot 0,42) + (2^2 \cdot 0,49)
= 0 + 0,42 + 1,96 = 2,38
]
Теперь подставим в формулу дисперсии:
[
D(X) = 2,38 - (1,4)^2 = 2,38 - 1,96 = 0,42
]
Шаг 6: Среднее квадратичное отклонение
Среднее квадратичное отклонение (σ) — это корень из дисперсии:
[
\sigma = \sqrt{D(X)} = \sqrt{0,42} \approx 0,65
]
Итоги
Полученные результаты:
- Математическое ожидание (E(X)): 1,4
- Дисперсия (D(X)): 0,42
- Среднее квадратичное отклонение (σ): 0,65
Эти вычисления показывают, что в среднем Паша может заработать 1,4 балла в двух партиях, с относительно низкой дисперсией и отклонением, указывающим на то, что значения количества баллов будут колебаться не сильно от среднего.
