Если игрок выиграет партию, он зарабатывает 1 балл, если проигрывает - баллов. Паша выигрывает с вероятностью 0,7. Постройте ряд распределения и вычислите математическое ожидание,…
Если игрок выиграет партию, он зарабатывает 1 балл, если проигрывает - баллов. Паша выигрывает с вероятностью 0,7. Постройте ряд распределения и вычислите математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратичное отклонение числа очков, которые может набрать at Паша в двух партиях.
Чтобы решить эту задачу, давайте поэтапно разберем, как построить ряд распределения, а также рассчитать математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратичное отклонение количества баллов, которые может заработать Паша в двух партиях.
Шаг 1: Определение события
Паша может выиграть (заработать 1 балл) или проиграть (заработать 0 баллов). Выигрыш происходит с вероятностью 0,7. Следовательно, проигрыш происходит с вероятностью \(1 - 0,7 = 0,3\).
Шаг 2: Результаты в двух партиях
Когда Паша играет две партии, возможные результаты и их вероятности:
Две победы (2 балла):
- Вероятность: \(P(2) = 0,7 \times 0,7 = 0,49\)
Одна победа, одна проигрыш (1 балл):
- Возможные комбинации: выигрывает первую и проигрывает вторую, или наоборот.
- Вероятность: \[ P(1) = (0,7 \times 0,3) + (0,3 \times 0,7) = 0,21 + 0,21 = 0,42 \]
Две проигрыша (0 баллов):
- Вероятность: \(P(0) = 0,3 \times 0,3 = 0,09\)
Шаг 3: Ряд распределения
Теперь у нас есть следующий ряд распределения:
\[ \begin{array}{|c|c|} \hline \text{Количество баллов (X)} & \text{Вероятность (P(X))} \\ \hline 0 & 0,09 \\ 1 & 0,42 \\ 2 & 0,49 \\ \hline \end{array} \]
Шаг 4: Математическое ожидание (E(X))
Математическое ожидание рассчитывается по формуле:
\[ E(X) = \sum (X_i \cdot P(X_i)) \] Где \(X_i\) — это количество очков, а \(P(X_i)\) — соответствующая вероятность.
Подставим значения:
\[ E(X) = (0 \cdot 0,09) + (1 \cdot 0,42) + (2 \cdot 0,49) = 0 + 0,42 + 0,98 = 1,4 \]
Шаг 5: Дисперсия (D(X))
Дисперсия рассчитывается по формуле:
\[ D(X) = E(X^2) - (E(X))^2 \]
Сначала найдем \(E(X^2)\):
\[ E(X^2) = \sum (X_i^2 \cdot P(X_i)) \] Подставим значения:
\[ E(X^2) = (0^2 \cdot 0,09) + (1^2 \cdot 0,42) + (2^2 \cdot 0,49) = 0 + 0,42 + 1,96 = 2,38 \]
Теперь подставим в формулу дисперсии:
\[ D(X) = 2,38 - (1,4)^2 = 2,38 - 1,96 = 0,42 \]
Шаг 6: Среднее квадратичное отклонение
Среднее квадратичное отклонение (σ) — это корень из дисперсии:
\[ \sigma = \sqrt{D(X)} = \sqrt{0,42} \approx 0,65 \]
Итоги
Полученные результаты:
- Математическое ожидание (E(X)): 1,4
- Дисперсия (D(X)): 0,42
- Среднее квадратичное отклонение (σ): 0,65
Эти вычисления показывают, что в среднем Паша может заработать 1,4 балла в двух партиях, с относительно низкой дисперсией и отклонением, указывающим на то, что значения количества баллов будут колебаться не сильно от среднего.
