разложить квадратные трехчлены на множители 5x²+7x-12

Чтобы разложить квадратный трехчлен \( 5x^2 + 7x - 12 \) на множители, будем использовать метод подбора. Вот пошаговое решение:

1. Знакомство с формой уравнения: Квадратный трехчлен имеет вид \( ax^2 + bx + c \), где \( a = 5 \), \( b = 7 \) и \( c = -12 \).

2. Поиск произведения и суммы: Нам нужно найти такие два числа \( m \) и \( n \), которые:

   • В сумме дают \( b \) (то есть 7)
   • В произведении дают \( a \cdot c \) (то есть \( 5 \cdot (-12) = -60 \))

   То есть, нам нужно решить систему: \[ m + n = 7 \] \[ m \cdot n = -60 \]

3. Подбор чисел: Переберем пары чисел, которые в произведении дают \(-60\):

   • \( 1 \) и \(-60\)
   • \( 2 \) и \(-30\)
   • \( 3 \) и \(-20\)
   • \( 4 \) и \(-15\)
   • \( 5 \) и \(-12\)
   • \( 6 \) и \(-10\)
   • \(-1\) и \(60\)
   • \(-2\) и \(30\)
   • \(-3\) и \(20\)
   • \(-4\) и \(15\)
   • \(-5\) и \(12\)
   • \(-6\) и \(10\)

   Теперь находим пару, которая в сумме дает 7. Пара \( 12 \) и \(-5\) подходит, так как: \[ 12 + (-5) = 7 \quad \text{и} \quad 12 \cdot (-5) = -60. \] Таким образом, \( m = 12 \) и \( n = -5 \).

4. Переписываем уравнение: Теперь перепишем исходный трехчлен, используя найденные \( m \) и \( n \): \[ 5x^2 + 12x - 5x - 12. \]

5. Группируем: Разделим на группы: \[ (5x^2 + 12x) + (-5x - 12). \]

6. Вынесение общего множителя: Вынесем общий множитель из каждой группы: \[ x(5x + 12) - 1(5x + 12). \]

7. Факториализация: Теперь заметим, что у нас есть общий множитель \( (5x + 12) \): \[ (5x + 12)(x - 1). \]

Таким образом, разложение квадратного трехчлена \( 5x^2 + 7x - 12 \) на множители будет таким: \[ (5x + 12)(x - 1). \]

Это и есть ответ.