Разложить квадратные трехчлены на множители 5x²+7x-12

Чтобы разложить квадратный трехчлен \( 5x^2 + 7x - 12 \) на множители, будем использовать метод подбора. Вот пошаговое решение: 1. **Знакомство с формой уравнения:** Квадратный трехчлен имеет вид \( ax^2 + bx + c \), где \( a = 5 \), \( b = 7 \) и \( c = -12 \). 2. **Поиск произведения и суммы:** Нам нужно найти такие два числа \( m \) и \( n \), которые: - В сумме дают \( b \) (то есть 7) - В произведении дают \( a \cdot c \) (то есть \( 5 \cdot (-12) = -60 \)) То есть, нам нужно решить систему: \[ m + n = 7 \] \[ m \cdot n = -60 \] 3. **Подбор чисел:** Переберем пары чисел, которые в произведении дают \(-60\): - \( 1 \) и \(-60\) - \( 2 \) и \(-30\) - \( 3 \) и \(-20\) - \( 4 \) и \(-15\) - \( 5 \) и \(-12\) - \( 6 \) и \(-10\) - \(-1\) и \(60\) - \(-2\) и \(30\) - \(-3\) и \(20\) - \(-4\) и \(15\) - \(-5\) и \(12\) - \(-6\) и \(10\) Теперь находим пару, которая в сумме дает 7. Пара \( 12 \) и \(-5\) подходит, так как: \[ 12 + (-5) = 7 \quad \text{и} \quad 12 \cdot (-5) = -60. \] Таким образом, \( m = 12 \) и \( n = -5 \). 4. **Переписываем уравнение:** Теперь перепишем исходный трехчлен, используя найденные \( m \) и \( n \): \[ 5x^2 + 12x - 5x - 12. \] 5. **Группируем:** Разделим на группы: \[ (5x^2 + 12x) + (-5x - 12). \] 6. **Вынесение общего множителя:** Вынесем общий множитель из каждой группы: \[ x(5x + 12) - 1(5x + 12). \] 7. **Факториализация:** Теперь заметим, что у нас есть общий множитель \( (5x + 12) \): \[ (5x + 12)(x - 1). \] Таким образом, разложение квадратного трехчлена \( 5x^2 + 7x - 12 \) на множители будет таким: \[ (5x + 12)(x - 1). \] Это и есть ответ.