б) Найдите высоту BН трапеции ABCD, если углы ABC и BCD равны соответственно 135° и 150°, а CD=18.

Для того чтобы найти высоту \( BН \) трапеции \( ABCD \), воспользуемся геометрическими свойствами трапеций и тригонометрией.

Шаг 1: Понимание задачи

У нас есть трапеция \( ABCD \) с основаниями \( AB \) и \( CD \). Из условия мы знаем, что углы \( ABC = 135^\circ \) и \( BCD = 150^\circ \), а длина основания \( CD = 18 \).

Шаг 2: Построение высоты

Высота \( BН \) опускается из вершины \( B \) на основание \( CD \) и перпендикулярна ему. Высота делит трапецию на два прямоугольных треугольника: треугольник \( BDC \) и \( BAH \) (где \( H \) — это основание высоты \( BН \)).

Шаг 3: Нахождение углов при основании

• Угол \( ABC = 135^\circ \) — это внешний угол по отношению к треугольнику \( ABD \). Поэтому внутренний угол \( ABD = 180^\circ - 135^\circ = 45^\circ \).
• Угол \( BCD = 150^\circ \) — это внешний угол для треугольника \( BDC \). Поэтому внутренний угол \( DBC = 180^\circ - 150^\circ = 30^\circ \).

Шаг 4: Использование тригонометрических соотношений

Для нахождения высоты \( BН \) можем использовать треугольник \( BHC \):

• В треугольнике \( BHC \), где \( \angle BHC = 90^\circ \), \( \angle BDC = 30^\circ \).
• Мы знаем, что в прямоугольном треугольнике отношение высоты к основанию представляется как: \[ \tan(\text{угол}) = \frac{\text{высота}}{\text{основание}} \]

В нашем случае \( \tan(30^\circ) = \frac{BН}{HC} \). Известно, что \( \tan(30^\circ) = \frac{1}{\sqrt{3}} \).

Шаг 5: Найдем длину \( HC \)

Для этого используем угол \( BCD \):

• В треугольнике \( BHC \) также можем выразить: \[ \sin(30^\circ) = \frac{BН}{BC} \]
• Однако, чтобы использовать \( CD \) и \( HC \), нам необходимо знать \( HC \). Если мы представим \( D \) и \( C \), то: \[ CD = HC + HD \] где \( HD = 18 - HC \).

Шаг 6: Используем тригонометрию

Воспользуемся вертикальными сторонами треугольников:

• Для \( \triangle BHC \): \[ HC = CD \times \cos(30^\circ) = 18 \times \frac{\sqrt{3}}{2} = 9\sqrt{3} \]
• Подставим это в уравнение для высоты: \[ BН = HC \times \tan(30^\circ) = 9\sqrt{3} \times \frac{1}{\sqrt{3}} = 9 \]

Ответ

Таким образом, высота \( BН \) трапеции \( ABCD \) равна \( 9 \) единиц.