Давайте подробно разберем задачу.
Дано:
- Радиус круга ( R = 16 ).
- Длина дуги кругового сектора ( L = \frac{68\pi}{3} ).
Нужно найти:
- Центральный угол ( \theta ) сектора в градусах.
Шаг 1: Формула длины дуги
Длина дуги сектора в круге выражается формулой:
[
L = \frac{\theta}{360^\circ} \cdot 2\pi R
]
где:
- ( L ) — длина дуги,
- ( R ) — радиус,
- ( \theta ) — центральный угол в градусах.
Шаг 2: Подставим известные значения
Подставим известные значения радиуса ( R = 16 ) и длины дуги ( L = \frac{68\pi}{3} ):
[
\frac{68\pi}{3} = \frac{\theta}{360^\circ} \cdot 2\pi \cdot 16
]
Шаг 3: Упростим уравнение
Сначала упростим правую часть:
[
2\pi \cdot 16 = 32\pi
]
Теперь подставим это значение в уравнение:
[
\frac{68\pi}{3} = \frac{\theta}{360^\circ} \cdot 32\pi
]
Шаг 4: Убедимся, что π уходит из уравнения
Делим обе стороны на ( \pi ) (при этом важно, что ( \pi \neq 0 )):
[
\frac{68}{3} = \frac{\theta}{360^\circ} \cdot 32
]
Шаг 5: Изолируем θ
Умножим обе стороны на ( 360^\circ ):
[
360^\circ \cdot \frac{68}{3} = \theta \cdot 32
]
Теперь упростим левую сторону:
[
\theta \cdot 32 = 360 \cdot \frac{68}{3} = \frac{360 \cdot 68}{3}
]
Сначала найдем ( 360 \cdot 68 ):
[
360 \cdot 68 = 24480
]
Теперь делим это значение на 3:
[
\frac{24480}{3} = 8160
]
Следовательно,
[
\theta \cdot 32 = 8160
]
Шаг 6: Найдем θ
Теперь делим обе стороны на 32:
[
\theta = \frac{8160}{32}
]
Выполним деление:
[
\frac{8160}{32} = 255
]
Таким образом, центральный угол ( \theta ) равен 255 градусов.
Ответ:
Центральный угол сектора равен ( 255^\circ ).
