Радиус круга 16 . Найдите центральный угол кругового сектора (в градусах), длина дуги которого 68 π 3 .

Давайте подробно разберем задачу.

Дано:

• Радиус круга \( R = 16 \).
• Длина дуги кругового сектора \( L = \frac{68\pi}{3} \).

Нужно найти:

• Центральный угол \( \theta \) сектора в градусах.

Шаг 1: Формула длины дуги

Длина дуги сектора в круге выражается формулой: \[ L = \frac{\theta}{360^\circ} \cdot 2\pi R \] где:

• \( L \) — длина дуги,
• \( R \) — радиус,
• \( \theta \) — центральный угол в градусах.

Шаг 2: Подставим известные значения

Подставим известные значения радиуса \( R = 16 \) и длины дуги \( L = \frac{68\pi}{3} \): \[ \frac{68\pi}{3} = \frac{\theta}{360^\circ} \cdot 2\pi \cdot 16 \]

Шаг 3: Упростим уравнение

Сначала упростим правую часть: \[ 2\pi \cdot 16 = 32\pi \] Теперь подставим это значение в уравнение: \[ \frac{68\pi}{3} = \frac{\theta}{360^\circ} \cdot 32\pi \]

Шаг 4: Убедимся, что π уходит из уравнения

Делим обе стороны на \( \pi \) (при этом важно, что \( \pi \neq 0 \)): \[ \frac{68}{3} = \frac{\theta}{360^\circ} \cdot 32 \]

Шаг 5: Изолируем θ

Умножим обе стороны на \( 360^\circ \): \[ 360^\circ \cdot \frac{68}{3} = \theta \cdot 32 \]

Теперь упростим левую сторону: \[ \theta \cdot 32 = 360 \cdot \frac{68}{3} = \frac{360 \cdot 68}{3} \] Сначала найдем \( 360 \cdot 68 \): \[ 360 \cdot 68 = 24480 \] Теперь делим это значение на 3: \[ \frac{24480}{3} = 8160 \] Следовательно, \[ \theta \cdot 32 = 8160 \]

Шаг 6: Найдем θ

Теперь делим обе стороны на 32: \[ \theta = \frac{8160}{32} \]

Выполним деление: \[ \frac{8160}{32} = 255 \]

Таким образом, центральный угол \( \theta \) равен 255 градусов.

Ответ: Центральный угол сектора равен \( 255^\circ \).