Реши уравнение:|1-x|+|x-5|=4

Решим уравнение \( |1 - x| + |x - 5| = 4 \). Для решения уравнений с абсолютными значениями важно учесть различные случаи, в зависимости от того, изменяют ли знаки выражения внутри абсолютных значений. В нашем случае это связано с точками \( x = 1 \) и \( x = 5 \). На основании этих точек будем делить числовую ось на интервалы: 1. \( (-\infty, 1) \) 2. \( [1, 5] \) 3. \( (5, \infty) \) Теперь рассмотрим каждый из этих интервалов. ### 1. Интервал \( (-\infty, 1) \) На этом интервале \( x < 1 \), следовательно: - \( |1 - x| = 1 - x \) - \( |x - 5| = 5 - x \) Подставляем в уравнение: \[ 1 - x + 5 - x = 4 \] \[ 6 - 2x = 4 \] \[ -2x = 4 - 6 \] \[ -2x = -2 \] \[ x = 1 \] Так как \( x = 1 \) не принадлежит интервалу \( (-\infty, 1) \), этот корень не принимаем в этом случае. ### 2. Интервал \( [1, 5] \) На этом интервале \( 1 \leq x \leq 5 \), следовательно: - \( |1 - x| = x - 1 \) - \( |x - 5| = 5 - x \) Подставляем в уравнение: \[ x - 1 + 5 - x = 4 \] \[ 4 = 4 \] Это тождественное равенство. Это означает, что любое значение \( x \) из интервала \( [1, 5] \) является решением. ### 3. Интервал \( (5, \infty) \) На этом интервале \( x > 5 \), следовательно: - \( |1 - x| = x - 1 \) - \( |x - 5| = x - 5 \) Подставляем в уравнение: \[ x - 1 + x - 5 = 4 \] \[ 2x - 6 = 4 \] \[ 2x = 10 \] \[ x = 5 \] Так как \( x = 5 \) не принадлежит интервалу \( (5, \infty) \), этот корень также не принимаем в этом случае. ### Итог Таким образом, единственными решениями данного уравнения являются все значения \( x \) из интервала \( [1, 5] \): \[ x \in [1, 5] \]