реши уравнение:|1-x|+|x-5|=4

Решим уравнение \( |1 - x| + |x - 5| = 4 \).

Для решения уравнений с абсолютными значениями важно учесть различные случаи, в зависимости от того, изменяют ли знаки выражения внутри абсолютных значений. В нашем случае это связано с точками \( x = 1 \) и \( x = 5 \). На основании этих точек будем делить числовую ось на интервалы:

1. \( (-\infty, 1) \)
2. \( [1, 5] \)
3. \( (5, \infty) \)

Теперь рассмотрим каждый из этих интервалов.

1. Интервал \( (-\infty, 1) \)

На этом интервале \( x < 1 \), следовательно:

• \( |1 - x| = 1 - x \)
• \( |x - 5| = 5 - x \)

Подставляем в уравнение:

\[ 1 - x + 5 - x = 4 \] \[ 6 - 2x = 4 \] \[ -2x = 4 - 6 \] \[ -2x = -2 \] \[ x = 1 \]

Так как \( x = 1 \) не принадлежит интервалу \( (-\infty, 1) \), этот корень не принимаем в этом случае.

2. Интервал \( [1, 5] \)

На этом интервале \( 1 \leq x \leq 5 \), следовательно:

• \( |1 - x| = x - 1 \)
• \( |x - 5| = 5 - x \)

Подставляем в уравнение:

\[ x - 1 + 5 - x = 4 \] \[ 4 = 4 \]

Это тождественное равенство. Это означает, что любое значение \( x \) из интервала \( [1, 5] \) является решением.

3. Интервал \( (5, \infty) \)

На этом интервале \( x > 5 \), следовательно:

• \( |1 - x| = x - 1 \)
• \( |x - 5| = x - 5 \)

Подставляем в уравнение:

\[ x - 1 + x - 5 = 4 \] \[ 2x - 6 = 4 \] \[ 2x = 10 \] \[ x = 5 \]

Так как \( x = 5 \) не принадлежит интервалу \( (5, \infty) \), этот корень также не принимаем в этом случае.

Итог

Таким образом, единственными решениями данного уравнения являются все значения \( x \) из интервала \( [1, 5] \):

\[ x \in [1, 5] \]