Игральный кубик бросили два раза. Событие A A — «при втором броске выпало меньше очков», событие B B — «хотя бы раз выпало одно очко». Составь таблицу случайного эксперимента и…
Игральный кубик бросили два раза. Событие A A — «при втором броске выпало меньше очков», событие B B — «хотя бы раз выпало одно очко». Составь таблицу случайного эксперимента и найди P ( A ∩ B ) P(A∩B)
Для решения этой задачи начнем с построения таблицы случайного эксперимента для броска кубика.
Шаг 1: Определение условий
Итак, у нас есть два броска игрального кубика. Мы будем иметь:
- Первый бросок: \( x_1 \) — может принимать значения от 1 до 6.
- Второй бросок: \( x_2 \) — может также принимать значения от 1 до 6.
События:
- Событие A: «при втором броске выпало меньше очков», то есть \( x_2 < x_1 \).
- Событие B: «хотя бы раз выпало одно очко», то есть \( x_1 = 1 \) или \( x_2 = 1 \).
Шаг 2: Построение таблицы
Теперь мы создадим таблицу, где строки будут соответствовать возможным значениям первого броска, а столбцы — возможным значениям второго броска:
| \( x_1 \backslash x_2 \) | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 |
|---|---|---|---|---|---|---|
| 1 | (1,1) | (1,2) | (1,3) | (1,4) | (1,5) | (1,6) |
| 2 | (2,1) | (2,2) | (2,3) | (2,4) | (2,5) | (2,6) |
| 3 | (3,1) | (3,2) | (3,3) | (3,4) | (3,5) | (3,6) |
| 4 | (4,1) | (4,2) | (4,3) | (4,4) | (4,5) | (4,6) |
| 5 | (5,1) | (5,2) | (5,3) | (5,4) | (5,5) | (5,6) |
| 6 | (6,1) | (6,2) | (6,3) | (6,4) | (6,5) | (6,6) |
Шаг 3: Вычисление вероятности \( P(A \cap B) \)
Теперь найдем пересечение событий \( A \) и \( B \) — это значит, что мы ищем такие результаты, при которых оба условия выполняются:
- Для события \( A \) (\( x_2 < x_1 \)):
- Если \( x_1 = 2 \): \( x_2 = 1 \) (результат: (2,1))
- Если \( x_1 = 3 \): \( x_2 = 1, 2 \) (результаты: (3,1), (3,2))
- Если \( x_1 = 4 \): \( x_2 = 1, 2, 3 \) (результаты: (4,1), (4,2), (4,3))
- Если \( x_1 = 5 \): \( x_2 = 1, 2, 3, 4 \) (результаты: (5,1), (5,2), (5,3), (5,4))
- Если \( x_1 = 6 \): \( x_2 = 1, 2, 3, 4, 5 \) (результаты: (6,1), (6,2), (6,3), (6,4), (6,5))
Теперь объединим все подходящие результаты с учетом события \( B \):
- (2,1)
- (3,1), (3,2)
- (4,1), (4,2), (4,3)
- (5,1), (5,2), (5,3), (5,4)
- (6,1), (6,2), (6,3), (6,4), (6,5)
Итак, подходящие пары, соответствующие \( A \cap B \):
- (2,1)
- (3,1), (3,2)
- (4,1), (4,2), (4,3)
- (5,1), (5,2), (5,3), (5,4)
- (6,1), (6,2), (6,3), (6,4), (6,5)
Таким образом, у нас есть:
- 1 пара: \( (2,1) \)
- 2 пары: \( (3,1), (3,2) \)
- 3 пары: \( (4,1), (4,2), (4,3) \)
- 4 пары: \( (5,1), (5,2), (5,3), (5,4) \)
- 5 пар: \( (6,1), (6,2), (6,3), (6,4), (6,5) \)
Общее количество благоприятных исходов \( = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 = 15 \).
Шаг 4: Общее число исходов
Общее число возможных исходов при двух бросках: \( 6 \cdot 6 = 36 \).
Шаг 5: Вычисление вероятности \( P(A \cap B) \)
Теперь можем найти вероятность: \[ P(A \cap B) = \frac{\text{число благоприятных исходов}}{\text{общее число исходов}} = \frac{15}{36} = \frac{5}{12}. \]
Таким образом, вероятность того, что при втором броске выпало меньше очков и хотя бы раз выпало одно очко, составляет \( \frac{5}{12} \).
