Давайте решим эту задачу, связанную с собирающей линзой и увеличением изображения. Мы будем использовать формулы для линз и обсудим каждый шаг.
Дано:
- Фокусное расстояние линзы ( f = 10 , \text{см} )
- Увеличение ( K = 4 ) (это означает, что изображение в 4 раза больше предмета)
Шаг 1: Понятие увеличения
Увеличение ( K ) определяется как отношение высоты изображения ( h' ) к высоте предмета ( h ) и также связано с расстоянием от линзы до предмета ( d_o ) (объективное расстояние) и расстоянием от линзы до изображения ( d_i ) (действительное расстояние):
[
K = \frac{h'}{h} = \frac{d_i}{d_o}
]
Поскольку сказано, что изображение в 4 раза больше, можем записать:
[
K = 4 = \frac{d_i}{d_o}
]
Шаг 2: Связь между ( d_o ) и ( d_i )
Из этого уравнения мы можем выразить ( d_i ):
[
d_i = 4 d_o
]
Шаг 3: Используем формулу для тонкой линзы
Для собирающей линзы также существует формула, связывающая фокусное расстояние, расстояния до предмета и изображения:
[
\frac{1}{f} = \frac{1}{d_o} + \frac{1}{d_i}
]
Шаг 4: Подставим значение ( d_i )
Теперь подставим найденное значение ( d_i ):
[
\frac{1}{f} = \frac{1}{d_o} + \frac{1}{4 d_o}
]
Объединим дроби:
[
\frac{1}{f} = \frac{4}{4 d_o} + \frac{1}{4 d_o} = \frac{5}{4 d_o}
]
Теперь подставим значение ( f ):
[
\frac{1}{10} = \frac{5}{4 d_o}
]
Шаг 5: Решим уравнение
Теперь решим это уравнение для ( d_o ):
[
4 d_o = 50 \quad \Rightarrow \quad d_o = \frac{50}{4} = 12.5 , \text{см}
]
Итог
Таким образом, предмет нужно поместить на расстоянии ( 12.5 , \text{см} ) от собирающей линзы, чтобы его действительное изображение было в 4 раза больше самого предмета.
