9m^2+ 6mx -24m +x^2-8x+19 найдите наименьшее значение выражение
Для нахождения наименьшего значения данного выражения \( 9m^2 + 6mx - 24m + x^2 - 8x + 19 \) будем действовать пошагово.
Шаг 1: Упорядочим выражение
Мы можем переписать данное выражение, сгруппировав его по переменным \( m \) и \( x \):
\[ 9m^2 + (6x - 24)m + (x^2 - 8x + 19) \]
Это выражение можно рассматривать как квадратичную функцию \( f(m) \):
\[ f(m) = 9m^2 + (6x - 24)m + (x^2 - 8x + 19) \]
Шаг 2: Находим наименьшее значение по \( m \)
Квадратичная функция имеет вид \( am^2 + bm + c \), где:
- \( a = 9 \)
- \( b = 6x - 24 \)
- \( c = x^2 - 8x + 19 \)
Формула для нахождения координаты вершины параболы (где находится наименьшее значение для \( a > 0 \)):
\[ m_{min} = -\frac{b}{2a} = -\frac{6x - 24}{2 \cdot 9} = \frac{24 - 6x}{18} = \frac{4 - x}{3} \]
Шаг 3: Подставим \( m_{min} \) в выражение
Теперь подставим найденное значение \( m_{min} \) обратно в функцию, чтобы найти наименьшее значение \( f(m) \):
\[ f\left(\frac{4 - x}{3}\right) = 9\left( \frac{4 - x}{3} \right)^2 + (6x - 24)\left( \frac{4 - x}{3} \right) + (x^2 - 8x + 19) \]
Раскроем квадрат:
\[ f\left(\frac{4 - x}{3}\right) = 9 \cdot \frac{(4 - x)^2}{9} + (6x - 24)\cdot \frac{4 - x}{3} + (x^2 - 8x + 19) \]
Сократим 9:
\[ = (4 - x)^2 + (6x - 24)(4 - x) + (x^2 - 8x + 19) \]
Теперь упростим каждую часть:
- \((4 - x)^2 = 16 - 8x + x^2\)
- \((6x - 24)(4 - x) = 24x - 6x^2 - 96 + 24x = -6x^2 + 48x - 96\)
Объединим их:
\[ = (16 - 8x + x^2) + (-6x^2 + 48x - 96) + (x^2 - 8x + 19) \]
Упрощаем:
\[ = -6x^2 + x^2 + x^2 + 48x - 8x - 8x + 16 - 96 + 19 = -4x^2 + 32x - 61 \]
Шаг 4: Находим наименьшее значение функции по \( x \)
Теперь мы должны снова применить формулу для нахождения координаты вершины:
- Для \( a = -4 \) и \( b = 32 \):
\[ x_{min} = -\frac{32}{2 \cdot -4} = \frac{32}{8} = 4 \]
Теперь подставим это значение обратно в уравнение:
\[ f(4) = -4(4^2) + 32(4) - 61 = -64 + 128 - 61 = 3 \]
Ответ
Таким образом, наименьшее значение выражения \( 9m^2 + 6mx - 24m + x^2 - 8x + 19 \) равно 3.
