Площадь боковой поверхности конуса равна 65π.Найди объём конуса, если радиус основания равен 5 . При вычислениях округли число π до сотых.
Чтобы найти объем конуса, нам сначала нужно вспомнить, какие формулы нам понадобятся. Мы знаем, что площадь боковой поверхности конуса (S) вычисляется по формуле:
\[ S = \pi r l \]
где:
- \( r \) — радиус основания конуса,
- \( l \) — образующая (или наклонная высота) конуса.
Объем конуса (V) вычисляется по формуле:
\[ V = \frac{1}{3} \pi r^2 h \]
где:
- \( h \) — высота конуса.
Чтобы найти объем, сначала нам нужно определить образующую \( l \) и высоту \( h \) конуса.
- Находим образующую:
Из условия задачи нам известно, что площадь боковой поверхности \( S = 65\pi \) и радиус основания \( r = 5 \).
Подставим значения в формулу для площади боковой поверхности:
\[ 65\pi = \pi \cdot 5 \cdot l \]
Мы можем упростить уравнение, поделив обе части на \( \pi \):
\[ 65 = 5l \]
Теперь решим это уравнение для \( l \):
\[ l = \frac{65}{5} = 13 \]
- Находим высоту:
Теперь нам нужно найти высоту \( h \). Для этого используем теорему Пифагора, так как высота, радиус и образующая формируют прямоугольный треугольник.
\[ l^2 = r^2 + h^2 \]
Подставим известные значения:
\[ 13^2 = 5^2 + h^2 \]
Сначала возведем в квадрат:
\[ 169 = 25 + h^2 \]
Теперь вычтем 25 из обеих частей:
\[ h^2 = 169 - 25 = 144 \]
Теперь извлечем квадратный корень:
\[ h = \sqrt{144} = 12 \]
- Находим объем:
Теперь, когда у нас есть все необходимые данные (\( r = 5 \) и \( h = 12 \)), можем найти объем конуса:
\[ V = \frac{1}{3} \pi r^2 h \]
Подставим значения:
\[ V = \frac{1}{3} \pi \cdot 5^2 \cdot 12 \]
Вычислим \( 5^2 \):
\[ 5^2 = 25 \]
Теперь подставим назад:
\[ V = \frac{1}{3} \pi \cdot 25 \cdot 12 \]
Теперь умножим 25 на 12:
\[ 25 \cdot 12 = 300 \]
Теперь подставим это значение:
\[ V = \frac{1}{3} \cdot 300\pi \]
Теперь разделим 300 на 3:
\[ V = 100\pi \]
- Округляем π до сотых:
Теперь подставим приближенное значение \( \pi \approx 3.14 \):
\[ V \approx 100 \cdot 3.14 = 314 \]
Таким образом, объем конуса составляет примерно 314 кубических единиц.
