Комбинат выпускает изделия, длина и ширина ко- торых являются нормальными случайными величинами. Опреде- лить вероятность того, что длина взятого наугад изделия выйдет за пределы…
Комбинат выпускает изделия, длина и ширина ко- торых являются нормальными случайными величинами. Опреде- лить вероятность того, что длина взятого наугад изделия выйдет за пределы допустимых размеров 50012,5 см, если среднее значение равно 5 м, а среднее квадратическое отклонение -—] см.саю
Чтобы понять задачу, давайте разберем, что у нас есть и что нужно сделать.
Условия задачи:
- Длина изделия — нормальная случайная величина
- Среднее значение (математическое ожидание) длины равно 5 м (или 500 см)
- Среднее квадратическое отклонение (стандартное отклонение) обозначено как σ и равно 2,5 см
Параметры:
- Допустимые размеры: от 497,5 см до 502,5 см. То есть, нас интересует вероятность того, что длина изделия выйдет за пределы этих значений (либо меньшей 497,5 см, либо большей 502,5 см).
Шаг 1: Нормализация
Для начала нам нужно выразить заданные границы в стандартных отклонениях относительно среднего значения. Для этого используем формулу Z-оценки: \[ Z = \frac{X - \mu}{\sigma} \] где:
- \(Z\) — стандартная Z-статистика,
- \(X\) — значение длины,
- \(\mu\) — среднее (500 см),
- \(\sigma\) — стандартное отклонение (2,5 см).
Шаг 2: Вычисление Z-оценок
- Для нижней границы (497,5 см): \[ Z_{нижний} = \frac{497,5 - 500}{2,5} = \frac{-2,5}{2,5} = -1 \]
- Для верхней границы (502,5 см): \[ Z_{верхний} = \frac{502,5 - 500}{2,5} = \frac{2,5}{2,5} = 1 \]
Шаг 3: Определение вероятностей
Теперь нам нужно узнать, какая доля распределения нормальной случайной величины находится за пределами этих Z-оценок. Для этого воспользуемся стандартной нормальной таблицей.
- Вероятность того, что Z < -1 (нижняя граница) ≈ 0,1587 (или 15,87%).
- Вероятность того, что Z < 1 (верхняя граница) ≈ 0,8413 (или 84,13%).
Таким образом, вероятность попадания внутри границ (между Z = -1 и Z = 1) равна: \[ P(-1 < Z < 1) = P(Z < 1) - P(Z < -1) = 0,8413 - 0,1587 = 0,6826 \] (или 68,26%).
Шаг 4: Вычисление вероятности выхода за пределы
Теперь, чтобы найти вероятность того, что длина изделия выходит за пределы допустимых размеров, нужно вычесть из 1 вероятность попадания внутри границ: \[ P(выход за пределы) = 1 - P(-1 < Z < 1) = 1 - 0,6826 = 0,3174 \] (или 31,74%).
Ответ
Таким образом, вероятность того, что длина изделия выйдет за пределы допустимых размеров 497,5 см и 502,5 см, составляет приблизительно 31,74%.
