1. Найдите координаты середины отрезка AB, если: а) A (–6; 2) B (4; 4); б) A (–5; –4) B (–1; 3). 2. Проверьте, является ли точка M (4; 2) серединой отрезка AB, если: а) A (3; –1)…

Хорошо, давайте решим все поставленные задачи пошагово.

Задача 1. Найдите координаты середины отрезка AB.

Координаты середины отрезка можно найти по формуле: \[ M_x = \frac{x_1 + x_2}{2}, \quad M_y = \frac{y_1 + y_2}{2} \] где \((x_1, y_1)\) и \((x_2, y_2)\) — координаты точек A и B.

а) A (–6; 2), B (4; 4)

1. Подставляем координаты в формулу: \[ M_x = \frac{-6 + 4}{2} = \frac{-2}{2} = -1 \] \[ M_y = \frac{2 + 4}{2} = \frac{6}{2} = 3 \]
2. Координаты середины отрезка AB: \(M (-1; 3)\).

б) A (–5; –4), B (–1; 3)

1. Подставляем координаты: \[ M_x = \frac{-5 + (-1)}{2} = \frac{-6}{2} = -3 \] \[ M_y = \frac{-4 + 3}{2} = \frac{-1}{2} = -0.5 \]
2. Координаты середины отрезка AB: \(M (-3; -0.5)\).

Задача 2. Проверьте, является ли точка M (4; 2) серединой отрезка AB.

Для начала найдем координаты середины отрезка AB, а затем сравним их с координатами точки M.

а) A (3; –1), B (5; 5)

1. Находим середину отрезка: \[ M_x = \frac{3 + 5}{2} = \frac{8}{2} = 4 \] \[ M_y = \frac{-1 + 5}{2} = \frac{4}{2} = 2 \]

2. Сравниваем с M (4; 2): \ Середина AB совпадает с координатами точки M. Значит, M является серединой отрезка AB.

б) A (3; 6), B (–5; –2)

1. Находим середину отрезка: \[ M_x = \frac{3 + (-5)}{2} = \frac{-2}{2} = -1 \] \[ M_y = \frac{6 + (-2)}{2} = \frac{4}{2} = 2 \]

2. Сравниваем с M (4; 2): \ Середина AB \( (-1; 2) \) не совпадает с M. Значит, M не является серединой отрезка AB.

Задача 3. Найдите расстояние между точками.

Расстояние между двумя точками \((x_1, y_1)\) и \((x_2, y_2)\) рассчитывается по формуле: \[ d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2} \]

а) A1 (7; 4), A2 (3; 1)

1. Подставляем в формулу: \[ d = \sqrt{(3 - 7)^2 + (1 - 4)^2} = \sqrt{(-4)^2 + (-3)^2} = \sqrt{16 + 9} = \sqrt{25} = 5 \]

б) A1 (3; 5), A2 (1; 1)

1. Подставляем: \[ d = \sqrt{(1 - 3)^2 + (1 - 5)^2} = \sqrt{(-2)^2 + (-4)^2} = \sqrt{4 + 16} = \sqrt{20} = 2\sqrt{5} \]

в) A1 (4; –3), A2 (–2; 5)

1. Подставляем: \[ d = \sqrt{(-2 - 4)^2 + (5 - (-3))^2} = \sqrt{(-6)^2 + (8)^2} = \sqrt{36 + 64} = \sqrt{100} = 10 \]

Задача 4. Докажите, что Δ CDE, где C (3; 4), D (6; 8), E (10; 5), является равнобедренным.

Для этого найдём длины всех сторон треугольника:

1. Сторона CD: \[ d_{CD} = \sqrt{(6 - 3)^2 + (8 - 4)^2} = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5 \]

2. Сторона DE: \[ d_{DE} = \sqrt{(10 - 6)^2 + (5 - 8)^2} = \sqrt{4^2 + (-3)^2} = \sqrt{16 + 9} = \sqrt{25} = 5 \]

3. Сторона CE: \[ d_{CE} = \sqrt{(10 - 3)^2 + (5 - 4)^2} = \sqrt{7^2 + 1^2} = \sqrt{49 + 1} = \sqrt{50} = 5\sqrt{2} \]

4. Сравнение сторон: \ Стороны CD и DE равны и составляют 5, значит, треугольник CDE является равнобедренным.

Это решение всех задач. Если есть дополнительные вопросы или нужна помощь, дайте знать!