Разложите на множители: 4х²-у²-4х+1

Для того чтобы разложить на множители выражение \(4x^2 - y^2 - 4x + 1\), следуем нескольким этапам: ### Шаг 1: Перепишем выражение Сначала мы можем попробовать переписать его так, чтобы выделить квадраты и обратить внимание на структуру: \[ 4x^2 - 4x - y^2 + 1 \] ### Шаг 2: Упрощение квадратичной части Теперь посмотрим на первую часть \(4x^2 - 4x\). Мы можем выделить общий множитель: \[ 4(x^2 - x) \] ### Шаг 3: Завершение квадрата Теперь можно завершить квадрат в выражении \(x^2 - x\): \[ x^2 - x = (x - \frac{1}{2})^2 - \frac{1}{4} \] Таким образом, наше выражение станет: \[ 4\left((x - \frac{1}{2})^2 - \frac{1}{4}\right) - y^2 \] ### Шаг 4: Упрощение Теперь раскроем скобки: \[ 4(x - \frac{1}{2})^2 - 1 - y^2 \] ### Шаг 5: Применим формулу разности квадратов Заметим, что у нас есть форма \(A^2 - B^2\), где: - \(A^2 = 4(x - \frac{1}{2})^2\) - \(B^2 = (y + 1)(y - 1)\) Таким образом, можем записать: \[ 4(x - \frac{1}{2})^2 - (y - 1)(y + 1) \] ### Шаг 6: Распишем разность квадратов Теперь применим формулу разности квадратов \(A^2 - B^2 = (A - B)(A + B)\): \[ A = 2(x - \frac{1}{2}) \quad \text{и} \quad B = y \] Таким образом, получаем: \[ (2(x - \frac{1}{2}) - y)(2(x - \frac{1}{2}) + y) \] ### Шаг 7: Подставим обратно Итак, можем закончить разложение, подставив обратно: \[ (2x - 1 - y)(2x - 1 + y) \] ### Заключение Таким образом, мы разложили исходное выражение \(4x^2 - y^2 - 4x + 1\) на множители: \[ (2x - 1 - y)(2x - 1 + y) \] Если у вас есть дополнительные вопросы о процессе или нужны уточнения, не стесняйтесь спрашивать!