Функция риска — это функция от параметра θ , который нам нужно оценить. Вычислим её на конкретном примере. Допустим, у нас есть монетка, но мы не знаем, честная она или нет, то…
Функция риска — это функция от параметра θ , который нам нужно оценить. Вычислим её на конкретном примере. Допустим, у нас есть монетка, но мы не знаем, честная она или нет, то есть с равной вероятностью она выпадает орлом и решкой или не с равной. Мы хотим оценить параметр θ — вероятность того, что монетка выпадет орлом вверх. Подкинув эту монетку 100 раз, получим выборку x1,…,xn . Естественно считать, что эта выборка порождена случайными величинами ξ1,…,ξn , где величина ξi принимает значение 1 с вероятностью θ , а значение 0 — с вероятностью 1−θ . В качестве оценки θ^n выберем значение x1 . Вычислите функцию риска для этой оценки и функции потерь u(x)=x2 . Rθ^n(θ)=E(u(θ^n−θ))=E(ξ1−θ)2= = θ2+ θ+ .
Для решения данной задачи разберёмся с основными понятиями, связанными с оцениванием параметров и функцией риска.
Шаг 1: Определение необходимых понятий
Оценка θ:
- Мы хотим оценить вероятность θ (вероятность того, что монетка выпадет орлом).
- Мы используем для этого оценку θ^n, которая будет равна x1 (первая подбрасываемая монета).
Функция потерь:
- У нас задана функция потерь \( u(x) = x^2 \), которую мы будем использовать для вычисления функции риска.
Функция риска (\( R_{\theta^n}(\theta) \)):
- Функция риска для данной оценки — это ожидание функции потерь: \[ R_{\theta^n}(\theta) = E(u(\theta^n - \theta)) = E((\theta^n - \theta)^2) \]
Шаг 2: Подстановка значений
Мы подкидываем монету \( n = 100 \) раз, и в каждом из этих испытаний выпадает:
- 1 (орел) с вероятностью θ,
- 0 (решка) с вероятностью 1 - θ.
Таким образом, если \( \xi_i \) обозначает результат i-го подбрасывания:
- \( \xi_i = 1 \) с вероятностью θ
- \( \xi_i = 0 \) с вероятностью 1 - θ
Оценка θ в нашем случае будет равна \( \theta^n = x_1 \), то есть значению, полученному в первом подбрасывании.
Шаг 3: Вычисление функции риска
Рассмотрим выражение \[ R_{\theta^n}(\theta) = E((x_1 - \theta)^2) \]
где \( x_1 \) — это результат первого подбрасывания.
Теперь найдём математическое ожидание:
Если \( x_1 = 1 \) (произошёл орел):
- Вероятность \( P(x_1 = 1) = \theta \)
- Потеря: \( (1 - \theta)^2 \)
Если \( x_1 = 0 \) (произошла решка):
- Вероятность \( P(x_1 = 0) = 1 - \theta \)
- Потеря: \( (0 - \theta)^2 = \theta^2 \)
Теперь подставим это в математическое ожидание:
\[ E((x_1 - \theta)^2) = P(x_1 = 1) \cdot (1 - \theta)^2 + P(x_1 = 0) \cdot \theta^2 \]
Подставляем вероятности:
\[ E((x_1 - \theta)^2) = \theta \cdot (1 - \theta)^2 + (1 - \theta) \cdot \theta^2 \]
Теперь раскроем скобки:
\[ = \theta \cdot (1 - 2\theta + \theta^2) + (1 - \theta) \cdot \theta^2 \]
\[ = \theta - 2\theta^2 + \theta^3 + \theta^2 - \theta^3 \]
\[ = \theta - \theta^2 \]
Шаг 4: Итоговая функция риска
Таким образом, мы пришли к выводу, что функция риска в данном случае выглядит следующим образом: \[ R_{\theta^n}(\theta) = \theta - \theta^2 \]
Заключение
Теперь у вас есть пошаговое объяснение, как вычисляется функция риска для данной оценки с использованием функции потерь. Если у вас есть дополнительные вопросы или требуется объяснение других тем, не стесняйтесь задавать!
