К окружности с центром в точке О проведены касательная АВ и секущая АО. Найдите тангенс угла АОВ, если АВ=15 сантиметров, а АО=17 сантиметров

Для решения задачи определим, что в рассматриваемой окружности:

1. Дано:

   • Касательная \( AB \) и секущая \( AO \).
   • \( AB = 15 \) см.
   • \( AO = 17 \) см.

2. Требуется найти:

   • Тангенс угла \( \angle AOB \).

Шаги решения:

1. Свойства касательной и секущей:

   Известно, что касательная к окружности перпендикулярна радиусу, проведённому в точку касания. Значит, треугольник \( AOB \) прямоугольный, где \( \angle OBA = 90^\circ \).

2. Рассмотрим треугольник \( AOB \):

   Из условия, что радиус \( OB \) перпендикулярен к \( AB \), используем теорему Пифагора для треугольника \( AOB \):

   \[ AO^2 = AB^2 + BO^2 \]

   Подставим известные значения:

   \[ 17^2 = 15^2 + BO^2 \]

   \[ 289 = 225 + BO^2 \]

   \[ BO^2 = 289 - 225 = 64 \]

   \[ BO = \sqrt{64} = 8 \, \text{см} \]

3. Найдём тангенс угла \( \angle AOB \):

   Тангенс острого угла в прямоугольном треугольнике равен отношению противолежащего катета к прилежащему:

   \[ \tan \angle AOB = \frac{AB}{BO} \]

   \[ \tan \angle AOB = \frac{15}{8} \]

4. Ответ:

   Тангенс угла \( \angle AOB \) равен \(\frac{15}{8}\).