Серёжа и Дима красят забор за 14 часов. Серёжа и Костя красят этот же забор за 15 часов, а Костя и Дима за 35 часов. За сколько часов мальчи-ки покрасят забор, работая втроём?
Для решения этой задачи давай сначала обозначим скорость работы каждого мальчика. Пусть:
- Серёжа работает со скоростью \( S \) (в забор/час).
- Дима работает со скоростью \( D \) (в забор/час).
- Костя работает со скоростью \( K \) (в забор/час).
Теперь запишем уравнения на основе условий задачи:
Серёжа и Дима красят забор за 14 часов: \[ S + D = \frac{1}{14} \] (это означает, что вместе они красит 1 забор за 14 часов, значит их скорость суммарно равна \( \frac{1}{14} \) забора в час).
Серёжа и Костя красят забор за 15 часов: \[ S + K = \frac{1}{15} \]
Костя и Дима красят забор за 35 часов: \[ K + D = \frac{1}{35} \]
Теперь у нас есть система из трех уравнений:
\[ \begin{cases} S + D = \frac{1}{14} \quad (1)\\ S + K = \frac{1}{15} \quad (2)\\ K + D = \frac{1}{35} \quad (3) \end{cases} \]
Шаг 1: Найдем \( S \)
Из уравнения (1) можно выразить \( D \): \[ D = \frac{1}{14} - S \quad (4) \]
Шаг 2: Подставим \( D \) в уравнение (3)
Подставив (4) в (3), получаем: \[ K + \left( \frac{1}{14} - S \right) = \frac{1}{35} \]
Упростим уравнение: \[ K - S = \frac{1}{35} - \frac{1}{14} \]
Теперь приведем дроби к общему знаменателю: \[ \frac{1}{35} - \frac{1}{14} = \frac{1}{35} - \frac{5}{35} = -\frac{4}{35} \] Таким образом, у нас получается: \[ K - S = -\frac{4}{35} \quad (5) \]
Шаг 3: Найдем \( K \)
Из уравнения (5) выразим \( K \): \[ K = S - \frac{4}{35} \quad (6) \]
Шаг 4: Подставим \( K \) в уравнение (2)
Теперь подставим (6) в (2): \[ S + \left(S - \frac{4}{35}\right) = \frac{1}{15} \] Соберем все \( S \): \[ 2S - \frac{4}{35} = \frac{1}{15} \]
Шаг 5: Умножим на знаменатели
Чтобы избавиться от дробей, умножим всё уравнение на 105 (наименьшее общее кратное 15 и 35): \[ 105 \cdot 2S - 105 \cdot \frac{4}{35} = 105 \cdot \frac{1}{15} \] Получаем: \[ 210S - 12 = 7 \]
Шаг 6: Решим уравнение
Теперь решим его: \[ 210S = 7 + 12 \] \[ 210S = 19 \] \[ S = \frac{19}{210} \]
Шаг 7: Найдем \( D \) и \( K \)
Теперь подставим \( S \) обратно в (4) для нахождения \( D \): \[ D = \frac{1}{14} - \frac{19}{210} \]
Приведем к общему знаменателю: \[ \frac{1}{14} = \frac{15}{210} \] Тогда: \[ D = \frac{15}{210} - \frac{19}{210} = -\frac{4}{210} = \frac{29}{210} \]
Теперь найдем \( K \): \[ K = S - \frac{4}{35} \] Сначала преобразуем \( \frac{4}{35} \) к знаменателю 210: \[ K = \frac{19}{210} - \frac{24}{210} = \frac{-5}{210} = \frac{25}{210} \]
Шаг 8: Найдем общую скорость мальчиков
Теперь можно найти скорость всех троих вместе: \[ S + D + K = \frac{19}{210} + \frac{29}{210} + \frac{25}{210} = \frac{73}{210} \]
Шаг 9: Найдем время, необходимое для покраски
Теперь, чтобы найти, сколько времени необходимо для покраски забора втроём, нужно взять обратную величину их общей скорости: \[ T = \frac{1}{\frac{73}{210}} = \frac{210}{73} \approx 2.88 \text{ часа} \]
Таким образом, мальчики покрасят забор втроём примерно за 2.88 часа.
