Серёжа и Дима красят забор за 14 часов. Серёжа и Костя красят этот же забор за 15 часов, а Костя и Дима за 35 часов. За сколько часов мальчи-ки покрасят забор, работая втроём?

Для решения этой задачи давай сначала обозначим скорость работы каждого мальчика. Пусть: - Серёжа работает со скоростью \( S \) (в забор/час). - Дима работает со скоростью \( D \) (в забор/час). - Костя работает со скоростью \( K \) (в забор/час). Теперь запишем уравнения на основе условий задачи: 1. Серёжа и Дима красят забор за 14 часов: \[ S + D = \frac{1}{14} \] (это означает, что вместе они красит 1 забор за 14 часов, значит их скорость суммарно равна \( \frac{1}{14} \) забора в час). 2. Серёжа и Костя красят забор за 15 часов: \[ S + K = \frac{1}{15} \] 3. Костя и Дима красят забор за 35 часов: \[ K + D = \frac{1}{35} \] Теперь у нас есть система из трех уравнений: \[ \begin{cases} S + D = \frac{1}{14} \quad (1)\\ S + K = \frac{1}{15} \quad (2)\\ K + D = \frac{1}{35} \quad (3) \end{cases} \] ### Шаг 1: Найдем \( S \) Из уравнения (1) можно выразить \( D \): \[ D = \frac{1}{14} - S \quad (4) \] ### Шаг 2: Подставим \( D \) в уравнение (3) Подставив (4) в (3), получаем: \[ K + \left( \frac{1}{14} - S \right) = \frac{1}{35} \] Упростим уравнение: \[ K - S = \frac{1}{35} - \frac{1}{14} \] Теперь приведем дроби к общему знаменателю: \[ \frac{1}{35} - \frac{1}{14} = \frac{1}{35} - \frac{5}{35} = -\frac{4}{35} \] Таким образом, у нас получается: \[ K - S = -\frac{4}{35} \quad (5) \] ### Шаг 3: Найдем \( K \) Из уравнения (5) выразим \( K \): \[ K = S - \frac{4}{35} \quad (6) \] ### Шаг 4: Подставим \( K \) в уравнение (2) Теперь подставим (6) в (2): \[ S + \left(S - \frac{4}{35}\right) = \frac{1}{15} \] Соберем все \( S \): \[ 2S - \frac{4}{35} = \frac{1}{15} \] ### Шаг 5: Умножим на знаменатели Чтобы избавиться от дробей, умножим всё уравнение на 105 (наименьшее общее кратное 15 и 35): \[ 105 \cdot 2S - 105 \cdot \frac{4}{35} = 105 \cdot \frac{1}{15} \] Получаем: \[ 210S - 12 = 7 \] ### Шаг 6: Решим уравнение Теперь решим его: \[ 210S = 7 + 12 \] \[ 210S = 19 \] \[ S = \frac{19}{210} \] ### Шаг 7: Найдем \( D \) и \( K \) Теперь подставим \( S \) обратно в (4) для нахождения \( D \): \[ D = \frac{1}{14} - \frac{19}{210} \] Приведем к общему знаменателю: \[ \frac{1}{14} = \frac{15}{210} \] Тогда: \[ D = \frac{15}{210} - \frac{19}{210} = -\frac{4}{210} = \frac{29}{210} \] Теперь найдем \( K \): \[ K = S - \frac{4}{35} \] Сначала преобразуем \( \frac{4}{35} \) к знаменателю 210: \[ K = \frac{19}{210} - \frac{24}{210} = \frac{-5}{210} = \frac{25}{210} \] ### Шаг 8: Найдем общую скорость мальчиков Теперь можно найти скорость всех троих вместе: \[ S + D + K = \frac{19}{210} + \frac{29}{210} + \frac{25}{210} = \frac{73}{210} \] ### Шаг 9: Найдем время, необходимое для покраски Теперь, чтобы найти, сколько времени необходимо для покраски забора втроём, нужно взять обратную величину их общей скорости: \[ T = \frac{1}{\frac{73}{210}} = \frac{210}{73} \approx 2.88 \text{ часа} \] Таким образом, мальчики покрасят забор втроём примерно за **2.88 часа**.