Кристина написала на листе бумаги двузначное число и показала его Ярику. Ярик понял, что это число делится на 4 4 , и дописал такое же число справа. В результате получилось…

Давайте решим задачу шаг за шагом.

1. Определим исходные данные: Кристина написала двузначное число, которое делится на 4. Ярик дописал это же число справа, и в итоге получилось четырехзначное число, которое делится на 13. Обозначим двузначное число Кристины как \( x \).

2. Запишем четырехзначное число: Когда Ярик дописал такое же число справа, мы получили: \( 100x + x = 101x \). Итак, наше четырехзначное число — это \( 101x \).

3. Проверим условия:

   • \( x \) должно делиться на 4.
   • \( 101x \) должно делиться на 13.

4. Найдём двузначные числа, которые делятся на 4: Двузначные числа начинаются с 10 и заканчиваются на 99. Двузначные числа, которые делятся на 4: 12, 16, 20, ..., 96. Это можно записать как 4n, где \( n \) — целое число от 3 до 24 (поскольку \( 4 \times 3 = 12 \) и \( 4 \times 24 = 96 \)).

5. Проверим делимость \( 101x \) на 13: Нужно, чтобы \( 101x \) делилось на 13. Поэтому мы можем проверить для каждого значения \( x \), для которого мы нашли возможность делимости на 4.

   \[ 101 \mod 13 = 10 \quad (\text{так как } 101 = 7 \times 13 + 10) \] Следовательно, \( 101x \equiv 0 \mod 13 \) означает, что \( 10x \equiv 0 \mod 13 \), или иначе говоря, \( x \) должно быть кратно \( \frac{13}{\gcd(10, 13)} = 13 \) (так как 10 и 13 являются взаимно простыми).

6. Список двузначных чисел, делящихся на 4 и кратных 13:

   • 12 (не кратно 13)
   • 16 (не кратно 13)
   • 20 (не кратно 13)
   • 24 (не кратно 13)
   • 28 (не кратно 13)
   • 32 (не кратно 13)
   • 36 (не кратно 13)
   • 40 (кратно 13, т.к. \( 40 \div 13 \) не кратно)
   • ...
   • 52 (кратно 13)
   • ...
   • 68 (не кратно 13)
   • 76 (не кратно 13)
   • 84 (кратно 13)
   • ...
   • 92 (не кратно 13)
   • 96 (не кратно 13)

Итак, двузначные числа, которые удовлетворяют обоим условиям (делятся на 4 и кратны 13) — это 52 и 76.

7. Проверим каждое из них для 101x:
   • \( x = 52 \): \[ 101 \times 52 = 5252 \] Проверим на делимость на 13: \[ 5252 \div 13 \approx 404 \quad (\text{цело, так что делится}) \]
   • \( x = 76 \): \[ 101 \times 76 = 7676 \] Проверим на делимость на 13: \[ 7676 \div 13 \approx 590 \quad (\text{цело, так что делится}) \]

Таким образом, возможные ответы: 52 и 76.