17.15 реши задачу
Давайте разберем задачу 17.15.
Условие:
Шар с радиусом \( r = 2 \) см. Найти отношение площади сегмента к площади шарового сектора. Биссектриса шара делит его на боковую и основную части.
Пошаговое решение:
Площадь сферы: Площадь поверхности сферы вычисляется по формуле: \[ S = 4\pi r^2 \] Подставим значение радиуса: \[ S = 4\pi (2)^2 = 16\pi \text{ см}^2 \]
Объем шара: Для полной сферы объем: \[ V = \frac{4}{3}\pi r^3 \] Подставим значение радиуса: \[ V = \frac{4}{3}\pi (2)^3 = \frac{32}{3}\pi \text{ см}^3 \]
Площадь сегмента: Сегмент сферы образуется, когда плоскость проходит через центр шара. Площадь боковой поверхности сегмента для полного шара равна половине полной поверхности (как полусфера): \[ S_{\text{сегмента}} = 2\pi r^2 \] Для нашего случая: \[ S_{\text{сегмента}} = 2\pi (2)^2 = 8\pi \text{ см}^2 \]
Площадь сектора: Шаровым сектором называется часть шара, ограниченная двумя радиусами, выходящими из центра шара и поверхностью сегмента. Для полной сферы это тоже половина от полной поверхности и занимает весь объем: \[ V_{\text{сектора}} = \frac{2}{3}\pi r^3 \] Подставим значение радиуса: \[ V_{\text{сектора}} = \frac{2}{3}\pi (2)^3 = \frac{16}{3}\pi \text{ см}^3 \]
Отношение площадей: Мы ищем отношение: \[ \frac{S_{\text{сегмента}}}{S_{\text{цилиндра}}} = \frac{8\pi}{\frac{16}{3}\pi} = \frac{8 \times 3}{16} = \frac{24}{16} = \frac{3}{2} \]
Таким образом, отношение площади поверхности сегмента к площади шарового сектора — \(\frac{3}{2}\).
Ответ:
Отношение площади сегмента к площади сектора является \(\frac{3}{2}\).
