Найти площадь фигуры, ограниченной графиком функции f(x)=1-x^2, прямыми а=-1, b=1
Чтобы найти площадь фигуры, ограниченной графиком функции \( f(x) = 1 - x^2 \) и прямыми \( x = -1 \) и \( x = 1 \), следуйте этим шагам:
Шаг 1: Построение графика функции
Функция \( f(x) = 1 - x^2 \) — это парабола, открывающаяся вниз, с вершиной в точке \( (0, 1) \). Парабола пересекает ось \( x \) в точках \( x = -1 \) и \( x = 1 \) (дискриминант равен нулю).
Шаг 2: Определение границ интегрирования
Мы определили, что область, ограниченная графиком функции и вертикальными линиями, находится в интервале \( x \in [-1, 1] \).
Шаг 3: Настройка формулы для площади
Чтобы найти площадь области, ограниченной графиком функции и осью \( x \), мы можем использовать определённый интеграл:
\[ \text{Площадь} = \int_{-1}^{1} f(x) \, dx \]
Шаг 4: Подстановка функции в интеграл
Теперь подставим нашу функцию \( f(x) = 1 - x^2 \) в интеграл:
\[ \text{Площадь} = \int_{-1}^{1} (1 - x^2) \, dx \]
Шаг 5: Вычисление интеграла
Разобьём интеграл на две части:
\[ \int_{-1}^{1} (1 - x^2) \, dx = \int_{-1}^{1} 1 \, dx - \int_{-1}^{1} x^2 \, dx \]
Теперь вычислим каждую часть:
- Интеграл от \( 1 \):
\[ \int_{-1}^{1} 1 \, dx = [x]_{-1}^{1} = 1 - (-1) = 2 \]
- Интеграл от \( x^2 \):
\[ \int_{-1}^{1} x^2 \, dx = \left[\frac{x^3}{3}\right]_{-1}^{1} = \frac{1^3}{3} - \frac{(-1)^3}{3} = \frac{1}{3} - \left(-\frac{1}{3}\right) = \frac{2}{3} \]
Шаг 6: Объединение результатов
Теперь подставим результаты обратно в формулу площади:
\[ \text{Площадь} = 2 - \frac{2}{3} = \frac{6}{3} - \frac{2}{3} = \frac{4}{3} \]
Ответ
Площадь фигуры, ограниченной графиком функции \( f(x) = 1 - x^2 \) и прямыми \( x = -1 \) и \( x = 1 \), равна \( \frac{4}{3} \) квадратных единиц.
