Чтобы найти площадь фигуры, ограниченной графиком функции ( f(x) = 1 - x^2 ) и прямыми ( x = -1 ) и ( x = 1 ), следуйте этим шагам:
Шаг 1: Построение графика функции
Функция ( f(x) = 1 - x^2 ) — это парабола, открывающаяся вниз, с вершиной в точке ( (0, 1) ). Парабола пересекает ось ( x ) в точках ( x = -1 ) и ( x = 1 ) (дискриминант равен нулю).
Шаг 2: Определение границ интегрирования
Мы определили, что область, ограниченная графиком функции и вертикальными линиями, находится в интервале ( x \in [-1, 1] ).
Шаг 3: Настройка формулы для площади
Чтобы найти площадь области, ограниченной графиком функции и осью ( x ), мы можем использовать определённый интеграл:
[
\text{Площадь} = \int_{-1}^{1} f(x) , dx
]
Шаг 4: Подстановка функции в интеграл
Теперь подставим нашу функцию ( f(x) = 1 - x^2 ) в интеграл:
[
\text{Площадь} = \int_{-1}^{1} (1 - x^2) , dx
]
Шаг 5: Вычисление интеграла
Разобьём интеграл на две части:
[
\int_{-1}^{1} (1 - x^2) , dx = \int_{-1}^{1} 1 , dx - \int_{-1}^{1} x^2 , dx
]
Теперь вычислим каждую часть:
- Интеграл от ( 1 ):
[
\int_{-1}^{1} 1 , dx = [x]_{-1}^{1} = 1 - (-1) = 2
]
- Интеграл от ( x^2 ):
[
\int_{-1}^{1} x^2 , dx = \left[\frac{x^3}{3}\right]_{-1}^{1} = \frac{1^3}{3} - \frac{(-1)^3}{3} = \frac{1}{3} - \left(-\frac{1}{3}\right) = \frac{2}{3}
]
Шаг 6: Объединение результатов
Теперь подставим результаты обратно в формулу площади:
[
\text{Площадь} = 2 - \frac{2}{3} = \frac{6}{3} - \frac{2}{3} = \frac{4}{3}
]
Ответ
Площадь фигуры, ограниченной графиком функции ( f(x) = 1 - x^2 ) и прямыми ( x = -1 ) и ( x = 1 ), равна ( \frac{4}{3} ) квадратных единиц.
