Дан конус. найти объем конуса и площадь полной поверхности конуса, если r=10, l=15

Для решения задачи найдем объем конуса и площадь полной поверхности конуса, используя данные значения радиуса основания и образующей. ### Дано: - Радиус основания конуса (r) = 10 - Образующая (l) = 15 ### 1. Объем конуса Формула для нахождения объема конуса (V) выглядит следующим образом: \[ V = \frac{1}{3} \pi r^2 h \] где: - \( r \) — радиус основания конуса, - \( h \) — высота конуса. Сначала нам необходимо найти высоту конуса (h). Мы можем использовать теорему Пифагора, поскольку у нас есть радиус и образующая, это образует прямоугольный треугольник: \[ l^2 = r^2 + h^2 \] Подставим известные значения: \[ 15^2 = 10^2 + h^2 \] \[ 225 = 100 + h^2 \] \[ h^2 = 225 - 100 = 125 \] \[ h = \sqrt{125} = 5\sqrt{5} \] Теперь подставим значение h в формулу для объема конуса: \[ V = \frac{1}{3} \pi (10^2) (5\sqrt{5}) = \frac{1}{3} \pi (100)(5\sqrt{5}) = \frac{500\sqrt{5}}{3} \pi \] Таким образом, объем конуса: \[ V = \frac{500\sqrt{5}}{3} \pi \approx 1178.1 \quad (\text{при } \pi \approx 3.14) \] ### 2. Площадь полной поверхности конуса Формула для площади полной поверхности конуса (S) включает площадь основания и боковую поверхность: \[ S = \pi r^2 + \pi r l \] где: - \( \pi r^2 \) — площадь основания, - \( \pi r l \) — площадь боковой поверхности. Теперь подсчитаем каждую из этих частей: 1. Площадь основания: \[ \pi r^2 = \pi (10^2) = 100\pi \] 2. Боковая поверхность: \[ \pi r l = \pi (10)(15) = 150\pi \] Теперь сложим эти два значения, чтобы получить полную площадь поверхности: \[ S = 100\pi + 150\pi = 250\pi \] Таким образом, площадь полной поверхности конуса: \[ S = 250\pi \approx 785.4 \quad (\text{при } \pi \approx 3.14) \] ### Итоговые ответы: - Объем конуса: \( \frac{500\sqrt{5}}{3} \pi \approx 1178.1 \) - Площадь полной поверхности конуса: \( 250\pi \approx 785.4 \)