Соотношения между сторонами и углами прямоугольного треугольника от 1. В прямоугольном треугольнике гипотенуза равна 4√3 см, а один из углов равен 60°. Найдите площадь…

Чтобы найти площадь прямоугольного треугольника, когда известна длина гипотенузы и один из углов, можно использовать тригонометрические функции.

Дано:

• Гипотенуза \( c = 4\sqrt{3} \) см
• Один из углов \( A = 60^\circ \)

Площадь прямоугольного треугольника можно найти по формуле: \[ S = \frac{1}{2} \cdot a \cdot b \] где \( a \) и \( b \) — это катеты треугольника.

Сначала найдем длины катетов, используя соотношения в прямоугольном треугольнике:

1. Катет, противолежащий углу 60°: \[ a = c \cdot \sin(A) = 4\sqrt{3} \cdot \sin(60^\circ) \] Известно, что \(\sin(60^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{2}\): \[ a = 4\sqrt{3} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 4 \cdot \frac{3}{2} = 6 \text{ см} \]

2. Катет, прилежащий к углу 60°: \[ b = c \cdot \cos(A) = 4\sqrt{3} \cdot \cos(60^\circ) \] Зная, что \(\cos(60^\circ) = \frac{1}{2}\): \[ b = 4\sqrt{3} \cdot \frac{1}{2} = 2\sqrt{3} \text{ см} \]

Теперь у нас есть длины катетов \( a \) и \( b \):

• \( a = 6 \) см
• \( b = 2\sqrt{3} \) см

Теперь подставим значения в формулу для площади: \[ S = \frac{1}{2} \cdot a \cdot b = \frac{1}{2} \cdot 6 \cdot 2\sqrt{3} = 6\sqrt{3} \text{ см}^2 \]

Ответ: Площадь треугольника равна \( 6\sqrt{3} \) см².