Для нахождения площади равнобедренной трапеции будем использовать известные данные: меньшее основание (a), боковая сторона (c) и острый угол (α).
Дано:
- Меньшее основание ( a = 10 ) см
- Боковая сторона ( c = 102 ) см
- Острый угол ( α = 45^\circ )
Шаг 1: Находим высоту трапеции
Поскольку у нас есть острый угол (45°), можем использовать тригонометрические функции для нахождения высоты (h) трапеции. В равнобедренной трапеции высота будет одинаковой по обе стороны меньшего основания.
С треугольниками:
- В правом треугольнике, образованном высотой и половиной разности оснований, высота h и боковая сторона являются катетами:
Используем синус:
[
\sin(α) = \frac{h}{c}
]
[
h = c \cdot \sin(α) = 102 \cdot \sin(45^\circ) = 102 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = 51\sqrt{2} , \text{см}
]
Шаг 2: Находим большее основание
Так как у нас равнобедренная трапеция, можно использовать теорему Пифагора:
[
c^2 = h^2 + \left(\frac{b - a}{2}\right)^2
]
где ( b ) - большее основание.
Подставим известные значения в формулу:
[
102^2 = (51\sqrt{2})^2 + \left(\frac{b - 10}{2}\right)^2
]
[
10404 = 2 \cdot 51^2 + \left(\frac{b - 10}{2}\right)^2
]
[
10404 = 2 \cdot 2601 + \left(\frac{b - 10}{2}\right)^2
]
[
10404 = 5202 + \left(\frac{b - 10}{2}\right)^2
]
[
5202 = \left(\frac{b - 10}{2}\right)^2
]
Теперь извлекаем корень:
[
\frac{b - 10}{2} = \sqrt{5202}
]
[
b - 10 = 2\sqrt{5202}
]
[
b = 10 + 2\sqrt{5202}
]
Шаг 3: Находим площадь трапеции
Формула для площади ( S ) равнобедренной трапеции:
[
S = \frac{(a + b) \cdot h}{2}
]
Теперь подставим известные значения:
Вычисляем ( b ) из предыдущего шага. Для практических нужд, найдем значение ( \sqrt{5202} ):
[
\sqrt{5202} \approx 72.1 \quad (это приближенное значение)
]
Тогда ( b ):
[
b \approx 10 + 2 \cdot 72.1 = 154.2 , \text{см}
]
Подставим в формулу для площади:
[
S = \frac{(10 + 154.2) \cdot 51\sqrt{2}}{2}
]
[
S = \frac{164.2 \cdot 51\sqrt{2}}{2} \approx 8344.2
]
Итог:
Площадь равнобедренной трапеции составляет приблизительно ( 8344.2 , \text{см}^2 ).
