(100) 3. Меньшее основание равнобедренной трапеции равно 10 см. боковая сторона равна 102 см, а острый угол равен 45°. Най-дите площадь трапеции.

Для нахождения площади равнобедренной трапеции будем использовать известные данные: меньшее основание (a), боковая сторона (c) и острый угол (α).

Дано:

• Меньшее основание \( a = 10 \) см
• Боковая сторона \( c = 102 \) см
• Острый угол \( α = 45^\circ \)

Шаг 1: Находим высоту трапеции

Поскольку у нас есть острый угол (45°), можем использовать тригонометрические функции для нахождения высоты (h) трапеции. В равнобедренной трапеции высота будет одинаковой по обе стороны меньшего основания.

С треугольниками:

• В правом треугольнике, образованном высотой и половиной разности оснований, высота h и боковая сторона являются катетами:

Используем синус: \[ \sin(α) = \frac{h}{c} \] \[ h = c \cdot \sin(α) = 102 \cdot \sin(45^\circ) = 102 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = 51\sqrt{2} \, \text{см} \]

Шаг 2: Находим большее основание

Так как у нас равнобедренная трапеция, можно использовать теорему Пифагора: \[ c^2 = h^2 + \left(\frac{b - a}{2}\right)^2 \] где \( b \) - большее основание.

Подставим известные значения в формулу: \[ 102^2 = (51\sqrt{2})^2 + \left(\frac{b - 10}{2}\right)^2 \] \[ 10404 = 2 \cdot 51^2 + \left(\frac{b - 10}{2}\right)^2 \] \[ 10404 = 2 \cdot 2601 + \left(\frac{b - 10}{2}\right)^2 \] \[ 10404 = 5202 + \left(\frac{b - 10}{2}\right)^2 \] \[ 5202 = \left(\frac{b - 10}{2}\right)^2 \]

Теперь извлекаем корень: \[ \frac{b - 10}{2} = \sqrt{5202} \] \[ b - 10 = 2\sqrt{5202} \] \[ b = 10 + 2\sqrt{5202} \]

Шаг 3: Находим площадь трапеции

Формула для площади \( S \) равнобедренной трапеции: \[ S = \frac{(a + b) \cdot h}{2} \]

Теперь подставим известные значения:

1. Вычисляем \( b \) из предыдущего шага. Для практических нужд, найдем значение \( \sqrt{5202} \): \[ \sqrt{5202} \approx 72.1 \quad (это приближенное значение) \] Тогда \( b \): \[ b \approx 10 + 2 \cdot 72.1 = 154.2 \, \text{см} \]

2. Подставим в формулу для площади: \[ S = \frac{(10 + 154.2) \cdot 51\sqrt{2}}{2} \] \[ S = \frac{164.2 \cdot 51\sqrt{2}}{2} \approx 8344.2 \]

Итог:

Площадь равнобедренной трапеции составляет приблизительно \( 8344.2 \, \text{см}^2 \).