найдите в промежутке убывания функции y=2x^2 /x-3
Чтобы найти промежутки убывания функции \( y = \frac{2x^2}{x - 3} \), нам нужно проделать несколько шагов. Вот подробное решение с объяснениями.
Шаг 1: Определение функции и её области определения
Функция задана в виде дроби. Чтобы определить её область определения, нужно учесть, что знаменатель не должен равняться нулю:
\[ x - 3 \neq 0 \implies x \neq 3 \]
Таким образом, область определения функции — \( x \in (-\infty, 3) \cup (3, +\infty) \).
Шаг 2: Нахождение производной функции
Для того чтобы определить, где функция убывает, необходимо найти её производную \( y' \). Для этого мы можем использовать правило дифференцирования дроби. Если \( f(x) = \frac{u(x)}{v(x)} \), то производная вычисляется по формуле:
\[ f'(x) = \frac{u'v - uv'}{v^2} \]
Где:
- \( u(x) = 2x^2 \), \( u'(x) = 4x \)
- \( v(x) = x - 3 \), \( v'(x) = 1 \)
Теперь подставим в формулу:
\[ y' = \frac{(4x)(x - 3) - (2x^2)(1)}{(x - 3)^2} \]
Упростим числитель:
\[ y' = \frac{4x^2 - 12x - 2x^2}{(x - 3)^2} \] \[ y' = \frac{2x^2 - 12x}{(x - 3)^2} \] \[ y' = \frac{2x(x - 6)}{(x - 3)^2} \]
Шаг 3: Определение знака производной
Чтобы найти промежутки, где функция убывает, нужно определить, на каких интервалах производная \( y' \) отрицательна. Это происходит, когда числитель \( 2x(x - 6) < 0 \).
Решим неравенство:
- Определим нули числителя:
- \( 2x = 0 \) \(\Rightarrow x = 0\)
- \( x - 6 = 0 \) \(\Rightarrow x = 6\)
Таким образом, нули числителя: \( x = 0 \) и \( x = 6 \).
- Расставим знаки на интервалах:
- Интервалы: \( (-\infty, 0) \), \( (0, 3) \), \( (3, 6) \), \( (6, +\infty) \)
Теперь проверим знаки производной на каждом интервале:
На интервале \( (-\infty, 0) \): возьмите \( x = -1 \) \[ y' = \frac{2(-1)(-7)}{(-4)^2} > 0 \quad (\text{функция возрастает}) \]
На интервале \( (0, 3) \): возьмите \( x = 1 \) \[ y' = \frac{2(1)(-5)}{(-2)^2} < 0 \quad (\text{функция убывает}) \]
На интервале \( (3, 6) \): возьмите \( x = 4 \) \[ y' = \frac{2(4)(-2)}{(1)^2} < 0 \quad (\text{функция убывает}) \]
На интервале \( (6, +\infty) \): возьмите \( x = 7 \) \[ y' = \frac{2(7)(1)}{(4)^2} > 0 \quad (\text{функция возрастает}) \]
Шаг 4: Итог
Функция \( y = \frac{2x^2}{x - 3} \) убывает на интервалах:
- \( (0, 3) \) и \( (3, 6) \)
Таким образом, ответ: функция убывает на интервалах \( (0, 3) \) и \( (3, 6) \).
