Найдите в промежутке убывания функции y=2x^2 /x-3

Чтобы найти промежутки убывания функции \( y = \frac{2x^2}{x - 3} \), нам нужно проделать несколько шагов. Вот подробное решение с объяснениями. ### Шаг 1: Определение функции и её области определения Функция задана в виде дроби. Чтобы определить её область определения, нужно учесть, что знаменатель не должен равняться нулю: \[ x - 3 \neq 0 \implies x \neq 3 \] Таким образом, область определения функции — \( x \in (-\infty, 3) \cup (3, +\infty) \). ### Шаг 2: Нахождение производной функции Для того чтобы определить, где функция убывает, необходимо найти её производную \( y' \). Для этого мы можем использовать правило дифференцирования дроби. Если \( f(x) = \frac{u(x)}{v(x)} \), то производная вычисляется по формуле: \[ f'(x) = \frac{u'v - uv'}{v^2} \] Где: - \( u(x) = 2x^2 \), \( u'(x) = 4x \) - \( v(x) = x - 3 \), \( v'(x) = 1 \) Теперь подставим в формулу: \[ y' = \frac{(4x)(x - 3) - (2x^2)(1)}{(x - 3)^2} \] Упростим числитель: \[ y' = \frac{4x^2 - 12x - 2x^2}{(x - 3)^2} \] \[ y' = \frac{2x^2 - 12x}{(x - 3)^2} \] \[ y' = \frac{2x(x - 6)}{(x - 3)^2} \] ### Шаг 3: Определение знака производной Чтобы найти промежутки, где функция убывает, нужно определить, на каких интервалах производная \( y' \) отрицательна. Это происходит, когда числитель \( 2x(x - 6) < 0 \). Решим неравенство: 1. Определим нули числителя: - \( 2x = 0 \) \(\Rightarrow x = 0\) - \( x - 6 = 0 \) \(\Rightarrow x = 6\) Таким образом, нули числителя: \( x = 0 \) и \( x = 6 \). 2. Расставим знаки на интервалах: - Интервалы: \( (-\infty, 0) \), \( (0, 3) \), \( (3, 6) \), \( (6, +\infty) \) Теперь проверим знаки производной на каждом интервале: - **На интервале \( (-\infty, 0) \)**: возьмите \( x = -1 \) \[ y' = \frac{2(-1)(-7)}{(-4)^2} > 0 \quad (\text{функция возрастает}) \] - **На интервале \( (0, 3) \)**: возьмите \( x = 1 \) \[ y' = \frac{2(1)(-5)}{(-2)^2} < 0 \quad (\text{функция убывает}) \] - **На интервале \( (3, 6) \)**: возьмите \( x = 4 \) \[ y' = \frac{2(4)(-2)}{(1)^2} < 0 \quad (\text{функция убывает}) \] - **На интервале \( (6, +\infty) \)**: возьмите \( x = 7 \) \[ y' = \frac{2(7)(1)}{(4)^2} > 0 \quad (\text{функция возрастает}) \] ### Шаг 4: Итог Функция \( y = \frac{2x^2}{x - 3} \) убывает на интервалах: - \( (0, 3) \) и \( (3, 6) \) Таким образом, ответ: функция убывает на интервалах \( (0, 3) \) и \( (3, 6) \).