Найдите косинус угла между векторами а={3;4},b={3;2}

Чтобы найти косинус угла между двумя векторами, нам нужно использовать формулу косинуса угла через скалярное произведение векторов. Давайте разберемся шаг за шагом.

Шаг 1: Определим векторы

У нас есть два вектора:

• \( \mathbf{a} = \begin{pmatrix} 3 \\ 4 \end{pmatrix} \)
• \( \mathbf{b} = \begin{pmatrix} 3 \\ 2 \end{pmatrix} \)

Шаг 2: Вычислим скалярное произведение векторов

Скалярное произведение векторов \( \mathbf{a} \) и \( \mathbf{b} \) вычисляется по формуле: \[ \mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = a_1 b_1 + a_2 b_2 \] Подставим компоненты векторов: \[ \mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = 3 \times 3 + 4 \times 2 = 9 + 8 = 17 \]

Шаг 3: Вычислим длины (модуль) векторов

Длина вектора \( \mathbf{a} \) определяется как: \[ \|\mathbf{a}\| = \sqrt{a_1^2 + a_2^2} = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5 \]

Длина вектора \( \mathbf{b} \) вычисляется аналогично: \[ \|\mathbf{b}\| = \sqrt{b_1^2 + b_2^2} = \sqrt{3^2 + 2^2} = \sqrt{9 + 4} = \sqrt{13} \]

Шаг 4: Применим формулу для нахождения косинуса угла

Косинус угла \( \Theta \) между векторами можно найти по формуле: \[ \cos(\Theta) = \frac{\mathbf{a} \cdot \mathbf{b}}{\|\mathbf{a}\| \|\mathbf{b}\|} \] Подставим сюда значения, которые мы уже нашли: \[ \cos(\Theta) = \frac{17}{5 \cdot \sqrt{13}} \]

Шаг 5: Посчитаем численное значение

Теперь найдём знаменатель: \[ 5 \cdot \sqrt{13} \] Приблизительно: \[ \sqrt{13} \approx 3.60555 \quad \Rightarrow \quad 5 \cdot 3.60555 \approx 18.02775 \] Теперь подставим в формулу: \[ \cos(\Theta) \approx \frac{17}{18.02775} \approx 0.943 \]

Итог

Косинус угла между векторами \( \mathbf{a} \) и \( \mathbf{b} \) примерно равен 0.943.

Это означает, что угол между этими векторами острый (поскольку косинус положителен).

Если у вас остались вопросы или нужна дополнительная помощь, не стесняйтесь спрашивать!